グラフの平行移動について

y＝mxを、x軸方向に2,y軸方向に3、平行移動したあとのグラフがy-3＝m(x-2)になるのですか？

この質問にこのような回答がありました。

移動後の方程式Y＝f(X)の点を(a,b)とすると
移動前の方程式y＝f(x)を満たす点が(a-2,b-3)となる。よってx,yに代入してb-3＝m(a-2)が成り立つ。
従ってy-3＝m(x-2)

ここで質問なのですが、移動前の方程式に移動前の点を代入したらそれは移動前の方程式じゃないのですか？(a-2,b-3)は移動前の方程式の通る点だし、代入した方程式y＝f(x)も移動前のものです。なのに移動後の方程式になるっていうのは納得できません。理解力がないのです。本当に困ってます助けてください

No.11 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2014/03/15 17:54

　確かに平行移動の結果を見ると、最初はちょっとトリッキーに感じますが、じつは無意識に普通にやってる事でもあるんです。

　平行移動前の直線は、

　　y＝mx　　(1)

でした。ここで(x，y)は、(1)で表される直線の「任意点」です。そこで、平行移動後の直線の「任意点」を(X，Y)で表します。質問文中の(a，b)はこの(X，Y)と同じもので、平行移動後の直線の「任意点」です。そこはOKですか？。

　(X，Y)は、(x，y)をx方向に2，,y軸方向に3、平行移動したものなので当然、

　　X＝x＋2　　(2)
　　Y＝y＋3　　(3)

です。(2)，(3)が成り立つので、(X，Y)を使って(x，y)を「逆算」できます（「やれ！」と言われた訳でもないのだが(^^；)）。

　　x＝X－2　　(2’)
　　y＝Y－3　　(3’)

となります。「やれ！」と言われた訳でもないのに、(2’)，(3’)で「逆算」を行う目的は何でしょう？。


　平行移動した直線は、(1)をもとに作成されます。なので平行移動後の直線を求めるためには、平行移動前の直線の式(1)を、必ずどこかで使用する必要があります。そうでなければ、答えが出てくる訳ありません。

　ところが(1)は(x，y)の式で、(X，Y)の式ではありません。しかし(2’)，(3’)を使って、(X，Y)で(x，y)を逆算する事が可能です。そして(2’)，(3’)には、「(x，y)をx方向に2，,y軸方向に3、平行移動したもの」という意味が詰まっています。そしてそして(1)は、平行移動後の直線を求めるために、必ず使わなければならない条件です。

　そうすると(X，Y)は、(2’)，(3’)を(1)に代入した式を満たさなければならない事になります（ここがポイントですね、きっと）。

　　Y－3＝m(X－2)　　(4)

　(4)の意味するところは、平行移動後の直線を求めるためには、平行移動前の直線の式を必ず使わねばならないので、当然のごとく使っただけです。(4)は(1)と同じなんですよ、もちろん。ただし(4)は、(x，y)の関係式ではなく、(X，Y)の関係式と見る必要があります。「それが目的」だったからです（#6さん）。実際(4)は移項すれば、

　　Ｙ＝mX－(2m－3)　　(5)　　（y＝mx－(2m－3)）

となり、(1)とは違う直線ですよね？。つまり、(2’)，(3’)を使って、(5)を「逆算」したんですよ(^^)。

　このような事は、ふつうにやってるんです。例えば方程式、

　　3x－2＝0　　(5)

を解く場合、x＝の結果が欲しいという「目的」があります。そこで移項を駆使して、

　　x＝2/3　　　(6)

を「逆算」します。このケースでは(5)と(6)は同等なので、(6)が(5)と同じだとみなす事も可能です。しかし決して「x＝2/3（平行移動後の状態）」を「解く前の方程式の状態（平行移動前の状態）」と同じだとは思わないはずです。

　それと同じですよ(^^)。

No.10 回答者： over_the_galaxy 回答日時： 2014/03/14 19:47

AN6です。

補足します。

＞　移動前と移動後の関係がわからないのです
＞　たとえば移動後が(3,4)を通るとしたら
＞　移動前は(3-2,4-3)だから(1,1)をとおる
＞　代入すると1＝m
＞　これが移動後の方程式を表してるということ
＞　ですか？よくわかりません

移動後が(3,4)を通るというのは、言葉を変えると移動前は(1,1)を通る、あなたの言う通りです。さらに「移動前は(1,1)を通る」というのは「傾きm=1」と同じです。言葉を変えて言ってるだけです。数学の世界では「必要十分」と呼ばれてます。

直線の式ですから、ｙ切片と傾きｍが決まれば一意に決まります。
移動前に絞って考えるとy=mxはｙ切片０、傾きｍの直線です。y=mxを言葉を変えて言ってるだけです。これが、ある点(1,1)を通ると指定するのは傾きｍをm=1に指定するに等しいです。だって(1,1)を通るには傾き１でないと通れませんから。

No.9 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/14 06:41

No.2 の添付図で同様に考えると、

移動後のグラフは（0, －1）、（2, 3）、（4, 7）
を通っています

どの点で考えても同じですが、（4, 7） を例に
とると、移動前の点は （4－2, 7－3） ＝（2, 4）
を通る

代入すると 4 ＝ 2 m

m ＝ 2 となり

元の直線は y ＝ 2x となります

＞　代入すると1＝m
＞　これが移動後の方程式を表してるということ
＞　ですか？よくわかりません

m は移動前の方程式の傾きを表しています

平行移動ですので、移動後も傾きは変わらず、
移動後の傾きでもありますけど

No.8 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/14 06:33

＞　移動前と移動後の関係がわからないのです

＞　たとえば移動後が(3,4)を通るとしたら
＞　移動前は(3-2,4-3)だから(1,1)をとおる
＞　代入すると1＝m
＞　これが移動後の方程式を表してるということ
＞　ですか？よくわかりません

移動前の式　y ＝ mx は 原点（0, 0） を通り、
傾きが m の直線です

移動前が （1, 1） を通るということは、

原点（0, 0） と （1, 1） を通る直線ですので、

傾き m が 1 の直線、すなわち y ＝ m
となります

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/14 01:30

実際いろいろな考え方はあるんだけど, まわりくどくてもいいならこんなふうに見ることもできる:

y = mx を x軸方向に2,y軸方向に3 平行移動するわけだから, y = mx上の点 (x, y) は (x+2, y+3) にうつる. そこで新しい点を (X, Y) とおくと X = x+2, Y = y+3. これと y = mx から x, y を消去して X と Y の関係式を作る.

No.6 回答者： over_the_galaxy 回答日時： 2014/03/12 21:00

数学的な発想方法の原点です。

この先多数出て来るので、こだわってよーく深ーく考えておきましょう。

＞b-3＝m(a-2)が成り立つ
質問文の通り確かにa-2とb-3の関係を示す式です。しかし、見方をちょっとだけ変えると

a-2とb-3の関係を示す式
↓
aとbの関係を示す式

と発想を変えることが出来ます。ここが重要です。aとbの関係だって示してるでしょ？
aとb、すなわち移動後の点の関係式です。

この回答への補足

移動前と移動後の関係がわからないのです
たとえば移動後が(3,4)を通るとしたら移動前は(3-2,4-3)だから(1,1)をとおる
代入すると1＝m
これが移動後の方程式を表してるということですか？よくわかりません
ほんとに馬鹿で申し訳ないです…

補足日時：2014/03/12 23:26

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/03/12 14:13

ANo4です。

回答が切れてしまいました。
申しわけない。

で、x、yが満たす方程式にx=x'-2, y=y'-3 を代入して得られた
方程式は、元の方程式を満たすx,yを x'=x+2, y'=y+3 として
計算したものが満たしますよね。

ということは、新しい方程式は、元の方程式の解となる点に(2.3)
たした位置の点が満たすことになります。

う~ん結局、同じレベルのことを言っているだけかな~
自明としか言いようがないので、何故といわれると
答に窮します。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/03/12 12:45

移動後の点は

x′=×+2
y'=y+3


ですよね。ということは、

x=x'-2
y=y′―3

は元の方程式を満たす点ですよね。

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/03/12 12:28

>y＝mxを、x軸方向に2,y軸方向に3、平行移動したあとのグラフがy-3＝m(x-2)になるのですか？

一般に y = f(x) を想定しても、そうなりそうですネ。
　y-3 = f(x-2)

x, y 両方とも一度に納得しようとすると、方向感覚が錯乱し易いのかも…。

たとえば、まず y=f(x) のグラフを y 軸の正方向に 3 だけ平行移動すると？
　Y-3 = f(x)　→　Y = f(x) + 3
次いで、x 軸の正方向に 2 だけ平行移動して？
　Y = f(X-2) + 3

…で完了。

>移動後の方程式Y＝f(X)の点を(a,b)とすると…
　　↓

移動後の方程式では
　b = f(a-2) + 3
つまり
　b-3 = f(a-2)　　…(A)
　　↓

>移動前の方程式y＝f(x)を満たす点が(a-2,b-3)となる。
これは、式 (A) の関係を指しているようです。

…だとして、どの辺で「目まい」してきますか？

　　

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/12 12:18

その回答を読んで、僕も頭がこんがらがりました

その回答の理解はスッパリ諦めましょう

同じような説明は

【　グラフの平行移動　】
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/move1.htm

にあり、こっちの方がまだマシです

ちなみに僕は、x軸方向に関しては前の方程式より 2 大きい値で
方程式が成り立てばよいので

y ＝ f（x ー 2） とする

y軸方向に関しては、単に 3 を加えたら、上に 3 移動するので

y ＝f（x ー 2）＋ 3

とすると考えて、問題を解いてます

方法を暗記してなくても、考えたらすぐ出てきます