自然数 ０×∞

より簡単となるように、話を自然数だけに限定しました。
以下において、数はすべて自然数（０を含む）とします。

まず、等号 = を帰納的に定義します。
　0 = 0
　a = b ならば a + 1 = b + 1

これによって、
　2 + 3 = 5
なども導けると思います。

このことは、自然数と加法を、たとえば
　0 は {}
　a + 1 は a ∪ {a}
という集合とその操作と考えた場合、等号は両辺の集合が等しいことを意味します。
ただし、1 以外の加法は、結合法則が成立するように
　a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
で定義します。

加法を無限回行った結果は一つしか存在しないので
　1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞
と表します。

乗法は
　a × b = Σ[k=1,b]a
で定義します。ただし、b = 0 ならば
　a × 0 = 0
とします。

以上の定義に従って計算する時、
質問１：この式は正しいですか？
　1 + Σ[k=2,∞]1 = 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1
あるいは ∞ を使って
　1 + ∞ = ∞

質問２：この式は正しいですか？
　0 × Σ[k=1,∞]1 = 0
あるいは ∞ を使って
　0 × ∞ = 0

なお、∞ という記号に、ある加算結果を表す以上の意味はありません。
等号以外の自然数や演算の定義は、通常と同じにしたつもりです。

No.10 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2014/03/22 06:27

加法を無限回行った結果は一つしか存在しないので

　1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞
と表します。

無限回は、（無限+1）回に等しいので、
∞＝（1 + 1 + 1 + ... ）+1= （Σ[k=1,∞]1 ）+1= ∞+1
＝∞∪{∞}

となりますが、
この結果は矛盾しませんか？

∞＝{0,1,2,...,∞}
集合Sが自分自身の要素
となってしまいます。

これを許せば、
ｘはｘの要素ではない
という条件で定義される集合
S＝{x|xはxの要素ではない}
が顔を出します。

SはSの要素でしょうか？
困ったかな？？

この回答への補足

∞＝∞+1
と考えれば
∞＝{0,1,2,...,∞}
となるのが当然で、自分自身を含む集合を考える必要があります。

これがパラドックスを生むかどうかはともかく、回避しなければならない問題だと判断しました。

補足日時：2014/03/24 21:40

この回答へのお礼

たしかに、矛盾してるように、形式的には見えます。
でも、
> ∞＝{0,1,2,...,∞}
が成立してるか否かを、どうやって確認すれば良いのでしょうか？

この集合が
> 　a + 1 は a ∪ {a}
という規則に基いて作られている場合、∞が含まれている集合には、必ずその前が存在しなければなりません。
それを仮に∞-1と表すなら、
　∞ ≠ ∞-1
を示すことができれば、一対一対応が成り立たないことになり
　∞+1 ≠ ∞
も言えそうです。でも、これでは堂々巡りですね。
よって、少なくとも、否定することは出来そうにありません。

また、無限公理により、∞を表す集合には、必ずすべての元に対する次の元が存在します。
つまり、∞-1という元が存在するなら、∞という元も存在している筈ですね。
結論としては、∞-1という元の存在を肯定するなら、∞という元も含まれていなければならず、
　∞ = ∞ + 1
が成立します。存在を否定するなら、∞という元を追加するのは規則に反します。

こういう説明で納得してもらえますか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/22 09:27

No.17 回答者： ibm_111 回答日時： 2014/03/23 16:17

>結論が間違ってるなら、正しく理解してないということなので、

>どこをどう間違ってるか教えて欲しいということです。
>だから、分かりやすさ優先で、少し奇妙な結論を、あえて記述しています。

それなら先に私が回答したとおりなのですけれども。
分かりやすさよりも厳密さを優先してください。


>「妄想」だとか、「現代数学の否定」とか、した覚えはありません。
>まさか、間違った（かもしれない）答を書いて、正否を質問したら、そういうことになるのですか？

いや、ならないんじゃないですか？
単に立ち位置を確認しただけです。


>閾値は設けていませんよ。
>「任意の自然数より大きな有限の数」です。

そんなものは存在しませんが。
ひょっとして、「任意」「大きい」「有限」あたりも
通常の意味とは異なる意味で使ってます？

この回答へのお礼

> 分かりやすさよりも厳密さを優先してください。

分かりやすさは、問題の選択についてです。
そのために厳密さを犠牲にした憶えはありません。

> ひょっとして、「任意」「大きい」「有限」あたりも
> 通常の意味とは異なる意味で使ってます？

多分、理解不足により、そうなっているのでしょう。
「任意の自然数には、必ずそれより大きな自然数が存在する」という程度にしか、理解してないので。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/23 18:25

No.16 回答者： jmh 回答日時： 2014/03/23 16:03

> この質問への答から学んだことにより、次は「無限回」などという言葉を使わずに

そうだといいですね（期待薄）。この無限は強いて言えば、可算無限の無限、無限遠点の無限、無限大超実数の無限、無限猿の無限などの、どれに最も近いと感じますか？

> でも、せっかく表現を改めても、その途端にだんまりを決め込むのは何故ですか？
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8513272.html
#11礼のεδ。悲しい気持ちになりました。短い答えは「δ＝εとすればよい。証明終了」だと思います。しかし、長い（そして必要な）答えはεδ論法自体の解説になると思います。

あと、対象を自然数にすることで簡単になった--そうは思わないけど--というのは、問題自体は同じ（だと思ってる）ってことなのかしら？ 例えば、一睡もしないで頑張ってくれてる uyama33 さんの #2 のお礼に「等比級数の和」とあります。これは無限等比級数（極限）を意味してますか？

この回答へのお礼

> どれに最も近いと感じますか？

判断できないってことは、理解できてないってことですね。

> 長い（そして必要な）答えはεδ論法自体の解説になると思います。

それがだんまりの理由にはならないですね。

> これは無限等比級数（極限）を意味してますか？

延々と第三者に対して返信の意味を解説するほど親切ではありません。

私が求めているのは、私の質問内容を理解し、間違ってる点を答えてくれる人です。
そうでない（と自覚してる）なら、回答して頂く必要はありません。

ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/23 18:16

No.15 回答者： uyama33 回答日時： 2014/03/23 06:35

閾値は設けていませんよ。

「任意の自然数より大きな有限の数」です。


この部分をみると、

Non-standard Analysis
A.Robinson

の考え方に従った議論をしているのでしょうか？

言葉が、いろいろな考え方の間を行ったり来たりしているので
理解が困難になります。

あなたの考えに近い議論を展開しているHPがありましたら教えていただきたいと思います。
あなたのHPを教えてくれと言っているのではありません。

この回答へのお礼

> あなたの考えに近い議論を展開しているHPがありましたら教えていただきたいと思います。

いやいや、こちらこそ。

> Non-standard Analysis

これは、まったく関係ないと思います。

「任意の自然数より大きな有限の数」というのは、相手のいう数に１加えて答えるようなことかと。

εδでは、任意の実数εで成り立ち、より大きなδではさらに小さくできることをもって、差は０であると見なしている。（そういうルールを作っている）
同様に、任意の自然数で成り立ち、より大きな自然数でも成り立つなら、それを無限での証明と見なしましょうと言ってるだけです。
結局私が証明できるのは、抽象的な無限ではなく、有限の数についてだけですから。

それで納得できないということでしたら、有限の数についての結果を使わずに、無限での結果を直接求める方法でも示してください。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/23 08:03

No.14 回答者： jmh 回答日時： 2014/03/23 02:39

> より簡単となるように、話を自然数だけに限定しました。

難しくなってます。εδの方が簡単です。

> 加法を無限回行った結果は一つしか存在しないので
>　1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞
前の段落で「0 は {}」「a + 1 は a ∪ {a}」などと集合での表現方法の一つを披露したのですから、この「∞」とやらも集合で表現すればいいのに、１＋１＋１＋「…」などと一転して無邪気になってしまうから「意味が分からない」です。この段落でも集合論に埋め込んで（集合で表現して）ほしいです。または、そういうことのできない数学的対象だと（最初に）教えてほしかったです。

マトメ: 前回→εδ、今回→集合？

この回答へのお礼

この質問への答から学んだことにより、次は「無限回」などという言葉を使わずに表現できそうです。
「そういうことのできない数学的対象」ではなく、単に私の表現力の問題です。

でも、せっかく表現を改めても、その途端にだんまりを決め込むのは何故ですか？
私としては、答えられる人に答えて貰えれば十分ですが。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/23 06:44

No.13 回答者： ibm_111 回答日時： 2014/03/22 23:38

どうも全体として現代の通常の集合論（ZFCとは言わないまでもカントール以降の集合論）をご存知ないような気がするので、集合・位相入門

http://www.amazon.co.jp/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%83 …
を参考書に挙げておきます。
順序数も出てきます。

で、目的もよくわかりません。
「現代の通常の集合論を理解したい」なのか、
「こんな数学があったらどうだろう？（現代数学を踏まえての提案、ないし妄想）」なのか、
「現代数学なんて全然ダメだ（主張）」なのか。


>また、仮にあったとしても、ここでは独自に∞という記号の意味を定義してますので、そういう意味は持ちません。
>私は「いくら大きくても構わないが有限の数」を無限回と名付けている

OK。了解です。
では、例えば、10＾10＾100は無限回なのですか？
10＾100ではどうでしょう？
あるいは、0は無限回？

つまり、「ある閾値を設けてその値以上を無限回と呼ぶことにしている」
ということでよろしいですか？

この回答へのお礼

私がしてるのは、「私が理解してることを元にするとこういう結論になるけど、これは正しいのだろうか？」という質問をしてるだけですよ。
結論が間違ってるなら、正しく理解してないということなので、どこをどう間違ってるか教えて欲しいということです。

だから、分かりやすさ優先で、少し奇妙な結論を、あえて記述しています。
そもそも間違った答を示さなければ、誰かの助言を期待することもできません。

「妄想」だとか、「現代数学の否定」とか、した覚えはありません。
まさか、間違った（かもしれない）答を書いて、正否を質問したら、そういうことになるのですか？

> つまり、「ある閾値を設けてその値以上を無限回と呼ぶことにしている」
> ということでよろしいですか？

閾値は設けていませんよ。
「任意の自然数より大きな有限の数」です。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/23 01:32

No.12 回答者： uyama33 回答日時： 2014/03/22 23:31

教えていただいたサイトを見ました。

無限公理は「公理的集合論」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86 …
に載ってます。

ZF公理系
の所をよく見たのですが、∞の記号が見当たりません。

書かれている内容を見ても、質問の前提となっている条件が不明です。
この、ZF公理系が議論の前提になっていたのでしょうか？
そうだとすると、公理系のどこから∞が出てくるのでしょうか？

順序数と基数を分けて議論するほうが話が普通の数学に近くなるような気がしますが
なぜ、ωを使わないのでしょうか？


また、
1を実数の個数と同じだけ加えても無限個の１を加えたことになるし、
１を自然数の個数と同じだけ加えても無限個の１を加えたことになる
あるいは、もっと沢山加える

これらは、みんな同じになってしまうのでしょうか？

この回答へのお礼

> この、ZF公理系が議論の前提になっていたのでしょうか？
> そうだとすると、公理系のどこから∞が出てくるのでしょうか？

ZF公理系は、ほとんどすべての数学の前提になってます。この質問も例外ではありません。
無限公理によって存在することが仮定されてる集合を∞という記号で表しています。
それは、単に私のセンスによる選択です。

> なぜ、ωを使わないのでしょうか？

0 × ω と書いても、質問内容が普通の人には分からないと思います。
それに、私が表したいのは、順序数とは別のものです。

> 1を実数の個数と同じだけ加えても無限個の１を加えたことになるし、
> １を自然数の個数と同じだけ加えても無限個の１を加えたことになる
> あるいは、もっと沢山加える

無限個の１を加えるという書き方は、他の定義に置き換える必要を感じています。
多分、無限公理と同じようなものになるかと。

何個という問題ではないんです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/23 06:27

No.11 回答者： uyama33 回答日時： 2014/03/22 17:20

無限公理により

の部分ですが、高校の数学の教科書に書いてありますか？
　私は高校では学んでいないのです。
どんな本を読んだら説明が書いてあるのでしょうか？

そもそも、
無限公理
が何なのか全く分からないので参考書を教えてください・

この回答へのお礼

無限公理については、私も習った憶えがありません。

無限公理は「公理的集合論」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86 …
に載ってます。

無限公理が必要な理由は、ラッセルのパラドックスを回避するためのようですが、
それについては「反復的集合観と公理的集合論」
http://d.hatena.ne.jp/lemniscus/20120616/1339838 …
が分かりやすいと思いました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/22 19:30

No.9 回答者： ibm_111 回答日時： 2014/03/21 08:06

>まず、∞の意味は単に

>　1 + 1 + 1 + ... = ∞
>を表す記号であって、あるいは、
>　{0, 1, 2, ...} = ∞
>を表す記号です。（自然数を集合と考えた場合、この２つは同じことです。）
>どちらであったにしろ、単なる記号であり、私は自然数に何も付け加えていないし、
>何も変更してはいません。

>自然数がペアノの公理で作られていて、
>加法もその時のものを使っているのは確認できると思います。

ここまではOK（通常の数学と同じ）

>よって、元々含まれていた元を∞という記号で表したに過ぎません。

ここに論理の飛躍があります。
{0, 1, 2, ...} = ∞
は含まれていません。
前回のコメントに注意
----------------
※通常の数学では、「∞」とは、
どんなに大きな（しかし有限の）自然数nを取ってきたとしても、
その値はnより大きくなる。
ということを意味し、これは自然数ではありません。
----------------

>加法を無限回行った場合として定義される自然数が帰納法で定義されているのなら、
>その比較が帰納法で定義されるのは当然ではありませんか？

いえ、当然ではないです。
論点1
通常の数学と同じである以上、
「加法を無限回行った場合として定義される自然数」
が存在しません。
論点2
仮にそういうものが存在したとし、それを∞と呼ぶことにする
（つまり、N'=N∪{∞}={1,2,・・・}∪{∞}と書いた時の∞）と、
∞は有限の自然数とは質的な違いがあります。
例えば、1+∞=∞
したがって、別途定義する必要があります。
通常の数学（集合論）では、最小の極限順序数ωとか呼びます。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F …

>なお、無限回の計算ができないという回答がいくつか見られますが、
>任意の n 回について計算できるなら n+1 回の計算もできるのならば、
>それは無限回の計算ができることを意味します。

いえ、意味しません。
それは単に、いくら大きくても構わないが有限の数に対し計算できるということを
意味するに過ぎません。

この回答へのお礼

> ※通常の数学では、「∞」とは、
> どんなに大きな（しかし有限の）自然数nを取ってきたとしても、
> その値はnより大きくなる。
> ということを意味し、これは自然数ではありません。

通常の数学では、「= ∞」がそういう意味を持つことは知ってますが、
「∞」単独で、そういう意味はないのでは？

また、仮にあったとしても、ここでは独自に∞という記号の意味を定義してますので、そういう意味は持ちません。

> 「加法を無限回行った場合として定義される自然数」
> が存在しません。

今回の私の定義において、つまり
> 　0 は {}
> 　a + 1 は a ∪ {a}
を無限回行った集合は、無限公理によって、存在することが仮定されています。
私は、ただ単に、この集合を∞という記号で表しただけです。

> ∞は有限の自然数とは質的な違いがあります。
> 例えば、1+∞=∞
> したがって、別途定義する必要があります。

自然数を集合によって定義し直し、そこから導かれる無限集合が∞だと定義したのに、何か曖昧な点がありますか？

> 通常の数学（集合論）では、最小の極限順序数ωとか呼びます。

その話は興味深いですが、どういう証明に基づくのかは、その説明だけでは分かりません。
極限順序数とはどのような集合となるのか、示して貰えませんか？

> それは単に、いくら大きくても構わないが有限の数に対し計算できるということを
> 意味するに過ぎません。

「いくら大きくても構わない」や「いくら小さくても構わない」を無限大や無限小というのではないでしょうか？
少なくともεδでの極限値の証明では、そういう置換えが行われていると考えています。

私は「いくら大きくても構わないが有限の数」を無限回と名付けているのだし、その定義のつもりで
> あるいはこれが、無限回の計算についての定義です。
と返答したのですが。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/21 09:40

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/03/21 01:17

「加法には結合法則が成り立つ」って, 証明できますか?

まさか「有限個に対して結合的だから『無限』個に対しても結合的」などという妄想を抱いてはいませんよね?

この回答へのお礼

加法は結局、+0 と +1 に還元されます。
　a + (b + c) = (a + b) + c
としていますから。

+0 では何も変化しないから、すべては +1 の繰り返しと言って構いません。
それも、どんな式でも、先頭から順に計算していくことに変換可能だということです。

すべての式が
　1 + 1 + 1 + ...
の繰り返しに過ぎず個数の違いしかないのなら、結合法則が成り立つのは当たり前だと思います。

別の証明も示しておきます。

式が有限の長さで、∞が含まれていないなら、その式は有限を表します。よって、結合法則は成り立ちます。
0 を除いた式の長さが無限なら、それは定義により ∞ を意味します。
式に +∞ が含まれているなら、そこまでの結果は ∞ となり、それに何かを加えても ∞ だから、最終結果も ∞ です。
この２つの結論は、計算順序に依らず、式の長さと含まれる数だけで決まりますから、結合法則は成り立ちます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/21 03:21