計算順序について

ふと、疑問に思ったことなのですが・・・
四則計算において( )が付いていなければ積商を和差より先に計算するのは基本ですよね。
では、どうして積商を先に計算するというルールができたのでしょうか？どういうメリットがあるのか思い浮かびません。理由をご存知の方、あるいは意見をお持ちの方、是非教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2004/05/13 01:33

単位の異なる物理量の足し算ができないからではないですか？。

数学と物理学は表裏一体の様なものです。

たとえば，身長170cm体重70kgの人の数値を足して240とすることに意味がないからでしょう。
では，100kmを１時間で走る速度はいくらかと言われれれ100km/hと答えるでしょう。掛け算割り算は１つの物理量を表す一体のもの。
　というわけで，掛け算割り算を優先するのだと思っています。
　中学時代にこの問いを投げかけた先生の答えは，割り算掛け算は１つの数値だから優先するべきだと言われました。でも，この先生がそこまで理解していたかというか疑問です（中学校でて２０年以上たちますけど）

この回答へのお礼

単位の問題があったのですね。重要なことを忘れてました。ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/13 21:17

No.8 回答者： pbforce 回答日時： 2004/05/13 19:58

#6です。

#7様正解です。混乱しているのは回答者ですね。

最初にお詫びいたします。
原理＝宇宙の摂理と言うことですと、確かに私の使用方法が間違っています。
乗除は加減より先に計算するのは確かに人間の都合の約束事なのですから。
まったく意味が違います、申し訳御座いませんでした。

あらためて・・・

乗除は加減より先に計算すると言うのは数学の
もっとも根本の約束事の一部であり、
この約束事の上に数学が成り立っている以上
数学でこのもっとも根本の約束事の一部を
説明することは出来ないのです。


次に混乱している所を修正します。
「乗除は加減より先に計算する」は他のものに取り替えることは
出来ません。

たとえば３＋５×２は「乗除は加減より先に計算する」を使わない限り
１３にはなりません。

「乗除は加減より先に計算する」を使用しないで
常に「乗除は加減より先に計算する」と同じ答えを導き出せたら、
初めて「乗除は加減より先に計算する」を他のものに
取り替えることができると言えるのです。

ちなみに逆ポーランド記法ですが
これはあくまでも
２　３　５　＋　×
と書いてあるものは
２×（３＋５）と計算するから１６になるって事ですよね？

そのことと
「乗除は加減より先に計算する」は他のものに取り替えることができる
こととはイコールではないですよね。

もっと言うと「乗除は加減より先に計算する」が有るがゆえに
このような記述をしないといけないのでは無いでしょうか？
逆ポーランド記法はあくまでも記法の問題であり
数学のもっとも根本の約束事の一部をこれに変える事はできません。

本当は今の数学をやっている以上
数学のもっとも根本の約束事＝数学の原理
なんです。

とここまで書いて気が付いたのですが
私はあくまでも数学と言う狭い土俵の上だけで
見た回答をしている事に気が付きました。

あまりにも狭い意見ですので、
こんな意見もあるんだね～ぐらいの気持ちで読んで下さい。

この回答へのお礼

狭い意見とおっしゃっいますが"限定する"ことは時に必要なので、意見としてはとてもよかったです。ご回答ありがとうございました。四則計算方法は数学にとって基本であり、変更不可事項ですね。

お礼日時：2004/05/13 22:39

No.7 回答者： ranx 回答日時： 2004/05/13 12:21

余計な回答を増やして質問者さんを混乱させるのは本位ではないのですが、

（ひょっとすると、混乱しているのは回答者であって質問者ではないかもしれませんが）

まず、乗算・除算を加算・減算より先にするというのは約束ごと（人間の都合）であって、
原理（宇宙の摂理）ではありません。その証拠に、他のものに取り替えることが可能です。
例えば、プログラミングの初歩の例題としてよく使われる逆ポーランド記法で
２　３　５　＋　×
は、通常の数式では
２×（３＋５）
の意味になります。
原理というのは、例えば交換則のようなもので、１＋２と２＋１は違うことにしようなどと
決めることはできません。（違うような結果をもたらす公理系は作れるかもしれませんが。）

人間の都合ですから、そのような決まりができた歴史的経緯があるはずですが、残念ながら
私も知りません。が、合理的に考えるならば、No.2さんのように単位（というより次元）を
揃えるためと考えるのが妥当であるように思えます。乗算・除算は次元の異なる物理量を
作り出します。それに対し、加算・減算は次元の同じ量同士で計算し、次元を変えません。
そんなことから、まず乗算・除算で目的の次元の量を計算した後に、それらを加算・減算する
のが自然と考えられたのではないかと思います。

この回答へのお礼

歴史的経緯を調べても、多分、単位を揃える必要性が絡んでくると思います。"約束ごと"と"原理"の説明も有益な情報として頭にインプットしておきます(^o^)ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/13 21:46

No.6 回答者： pbforce 回答日時： 2004/05/13 09:50

つまらない回答になってしまうんですが

この原理の元に数学が成り立っているのです。
ですので、どうしてこうなるのかと聞かれてもお答えできません。

この原理の上に数学が成り立っている以上、
数学でこの原理を説明することは出来ないのです。

No.5 回答者： he-goshite- 回答日時： 2004/05/13 09:43

No.4です。

大間違いをしてしまいました。誤記を訂正します。
（誤）：いずれの場合も答えは１４です。
（正）：いずれの場合も答えは２０です。

No.4 回答者： he-goshite- 回答日時： 2004/05/13 09:00

“そのほうが自然だから”ではないでしょうか。

計算順序の規則として，
１．書いてあるとおりの順番で（左から）計算する
としてもよいし，
２．足し算・引き算を先に計算する
と決めてもよいのではないかと思います。

（１）を規則とした場合
２＋３×４＝（２＋３)×４＝２０
２＋４×３＝（２＋４)×３＝１８
となるだけで，
３×４＋２＝１４
４×３＋２＝１４
とは別の式だと考えればよいだけです。

（２）を規則とした場合，
２＋３×４＝（２＋３)×４＝４×(２＋３)＝４×２＋３＝４×３＋２＝３＋２×４
となり，いずれの場合も答えは１４です。

ところがわれわれは，例えば，２３という数（「にじゅうさん」と唱えます）は，「十（じゅう）が２個の数 足す 三（さん）」という意味で使っています。
つまり，２×１０をひとまとまりに考えて，それと３とを加える考えです。だから，３＋２×１０とも等しいのだと考えるのが自然なのでしょう。
つまり人間の自然の考え方（認識の仕方）に合っている計算順序が，「積・商の計算を和・差の計算より優先する」方法なのではないかなと
考えます。

この回答へのお礼

なるほど！普段から(数字を習ってから)　"一まとまり"で認識してますね。ご意見ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/13 21:57

No.3 回答者： naozou 回答日時： 2004/05/13 01:48

メリット、というかNo.1の方がおっしゃるように積和を先にしないと計算が合わない、というのがまずは答えだと思います。

初等的な掛け算の意味は足し算の繰り返しの意味です。積と和の順序が逆になると繰り返す数が変わってきてしまいます。

たとえば 3×4 は「4を3回足す」です(3を4回足す、でもいいですが)。3×4に何か足す場合は先に繰り返しを終えてから出ないと正しい答えになりません。
3×4＋5 と 3×(4+5) では3回足し合わせる数が変わります。

もうすこし抽象数学になると、数の世界では必ず分配法則 A×(B+C)=A×B+A×C を満たさなくてはいけない、という決まりがあります。
もし足し算が先に計算できるとすると
A×B + A×C = A×(B+A)×Cとなり、最初の式とあわせて
A×(B+C) = A×(B+A)×C 結局
B+C = (B + A)×C
というおかしな式ができてしまいます。

この回答へのお礼

具体的でわかりやすい説明、ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/13 21:22

No.1 回答者： kiyotta 回答日時： 2004/05/13 00:51

そうしないと正解が出ないからではないでしょうか。

この回答へのお礼

そう言われればそうなのですが・・・(^_^;)
単刀直入な回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/13 21:16