なんとなくわかるようでわからない…

解答の一部分がよくわかりません。


大問) xy平面上の原点O以外の点P(x,y)に対して、点Qを次の条件(A),(B)を満たす平面上の点とする。
(A) 点Qは、原点Oを始点とする半直線OP上にある。
(B) 線分OPの長さと線分OQの長さの積は１である。

問１) 点Qの座標をx,yを用いて表せ。
解) 点QをQ(X , Y)とおく。
　　 　条件(A)より X=kx Y=ky (k>0)…(1)
　　 　条件(B)より (x^2+y^2)(X^2+Y^2)=1…(2)
　 (1)を(2)に代入して(x^2+y^2)(k^2x^2+k^2y^2)=1　　
　　　　　　　　　　　　　　k^2(x^2+y^2)^2=1
　　 点P(x,y)は原点以外だからx^2≠y^2≠0より
　　 k>0とあわせてk=1/x^2+y^2

よって(1)より　Q(x/x^2+y^2 , y/x^2+y^2)

問2） 点Pが円(x-1)^2+(y-1)^2=2上の原点以外の点を動くときの点Qの軌跡を求め平面上に図示しなさい。
解） 動点P(X , Y) とするとき、それに伴って動く動点Qは(1)より
　　 Q(X/X^2+Y^2 , Y/x^2+y^2) …(3)
　　 点Pが(x-1)^2+(y-1)^2=2
すなわち x^2+y^2-2x-2y=0上を動くから、(3)を代入して
　　 X^2/(X^2+Y^2)^2 + Y/(X^2+Y^2)^2 - 2X/X^2+Y^2 - 2Y/X^2+Y^2=0
整理して X^2+Y^2-2(X+Y)(X^2+Y^2)=0
(X^2+Y^2)｛1-2(X+Y｝=0
　　点Pは原点を通らないから X^2+Y^2≠0
　　よって　X+Y=1/2
ゆえに点Qの軌跡は　x+y=1/2

この最後の二行のつながりがいまいちわかりません。
どなたか教えてください。

No.7 回答者： naniwacchi 回答日時： 2014/05/05 23:44

こんばんわ。

よくよく読んでみて、このとおりではマズいかと思い・・・

＞動点P(X, Y)とするとき、
とありますが、求めたいのは点Qの軌跡なので、このまま Xと Yの関係を求めてもダメだと思います。
どうせなら、点Q(X, Y)とおいて、Xと Yの関係式を求めるべきだと。

で、いまの問題、点Pも点Qも「対等な関係」にあるので、
点Qの座標を(X, Y)とすると、点Pの座標は( X/(X^2+Y^2), Y/(X^2+Y^2) )と表すことができます。
これは「問1より」として書いてもいいと思います。
この点Pの座標を円の方程式に代入します。
すると、X+ Y= 1/2という式が得られます。

「対等な関係」にあるので、最後に点Pと点Qを入れ換えて答えにするという方法もアリといえばアリかもしれません。
でも、流れとしては、やはり点Qのx座標とy座標の関係式として求めたいところだと思います。

No.6 回答者： heno_moheiji 回答日時： 2014/05/03 21:11

これは反転の問題。

I
Ｐ(x、y)、Ｑ(α、β)とする。ＯＰ×ＯＱ＝1 から (α＾2＋β＾2)(x＾2＋y＾2)＝1 ‥‥(1)
ＰとＱからx軸に垂線を下し その足を各々Ａ、Ｂとすると、
△ＯＡＰと△ＯＢＱは3つの角が等しいから相似。
よって、(ＯＱ)/(ＯＰ)＝(ＯＢ)/(ＯＡ)＝(ＱＢ)/(ＰＡ)
だから α/x＝β/y＝√(α＾2＋β＾2)/√(x＾2＋y＾2)＝(1)から＝x＾2＋y＾2＝α＾2＋β＾2
つまりx＝(α)/(α＾2＋β＾2)、y＝(β)/(α＾2＋β＾2)。

II
x＝(α)/(α＾2＋β＾2)、y＝(β)/(α＾2＋β＾2)を (x-1)^2+(y-1)^2=2に代入するだけ。
計算が面倒だろうから、α＾2＋β＾2＝mとすると、
(α/m-1)^2+(β/m-1)^2=2　→　m－2m(α＋β)＝0
m≠0から、1－2(α＋β)＝0　
これを流通座標(普通の直角座標の事)に直すと、x+y=1/2

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/05/03 20:50

>X+Y=1/2 ならば　x+y=1/2　になるのがなんとなくわかりません。

それは、

>条件(A)より X=kx Y=ky (k>0)…(1)

により成立つみたいです。

　　　

No.4 回答者： berokanda 回答日時： 2014/05/03 20:32

追加ですが、x+y=1/2上の点が全て点Qとして

取り得るかどうかチェックしないといけません。

質問文に書かれた解答にはそのことが触れら
れていないので、軌跡を求める問題の解答とし
てはマズいでしょうね。

No.3 回答者： berokanda 回答日時： 2014/05/03 20:26

#1です。

＞(3)は正しくは　Q(x/x^2+y^2 , y/x^2+y^2)でした！

えっと、それは
X=「xとyの式」
Y=「xとyの式」
にしたのであって、

x=「XとYの式」
y=「XとYの式」
と表したわけではありませんよね？

(x-1)^2+(y-1)^2=2

に代入してXとYの関係を得るには後者にしないと
うまくいかないと思うのですが質問文の解答には
その計算が書かれていません。そこは明らかでは
ないようにみえますが質問者さんとしては大丈夫
なんでしょうか？

それと、
X+Y=1/2をx+y=1/2に書き換える必要はありません。
申し訳ありませんが、その解答はあまり出来が良く
ないようにみえます。

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/05/03 19:42

> …

>整理して X^2+Y^2-2(X+Y)(X^2+Y^2)=0
>(X^2+Y^2)｛1-2(X+Y｝=0
>　　点Pは原点を通らないから X^2+Y^2≠0
>　　よって　X+Y=1/2
>ゆえに点Qの軌跡は　x+y=1/2
>この最後の二行のつながりがいまいちわかりません。


X^2+Y^2≠0 だから、
　(X^2+Y^2){1-2(X+Y) } = 0
にて両辺を (X^2+Y^2) で割り算でき、
　1-2(X+Y) = 0
を得る。

…から、最後の二行を導けるのですが、どこで引っかかりますか？

　　

この回答への補足

質問の仕方が間違ってました。
最後から二行目まではわかるんですが、
X+Y=1/2 ならば　x+y=1/2　になるのがなんとなくわかりません。

そうなるのだ、と言われてしまえばそれまでな質問かもしれませんが…

補足日時：2014/05/03 20:24

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2014/05/03 16:06

問題集かなにかに載っている解答ですか？

問2の解答の(3)の式が間違っています。
Pの座標をQの座標を用いて表し、それを
Pの満たす式に代入するというのならわかり
ますがそうなってませんし。

正確に引用できているのかどうか再確認して
ください。

余談ですがPの軌跡とQの軌跡は原点中心の
単位円に関する反転という関係にあります。

この回答への補足

>問題集かなにかに載っている解答ですか？
問2の解答の(3)の式が間違っています。

(3)は正しくは　Q(x/x^2+y^2 , y/x^2+y^2)でした！
すみません。
学校の試験ででたのですが、2010年の山口大・文系の過去問みたいです。

補足日時：2014/05/03 18:49