数ベクトル空間 ベクトル空間

数ベクトル空間について教えて下さい。
ベクトル空間の章で数ベクトル空間という言葉がかなり多く
用いられます。数ベクトル空間がどのようなものかよく分かりません・・・

数ベクトル空間の定義
K上の数ベクトル空間Vとは、
数の組をベクトル空間として扱ったもので、
V:={（a1・・・an）｜a1,・・・,an∈K}
と定義される。

ここで質問なのですが、数ベクトル空間は具体的にどのよう
なものでしょうか？
また、数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか？

数ベクトル空間でないベクトル空間
ってどのようなものがあるのでしょうか？

数ベクトル空間の例とベクトル空間の例を具体的に示して頂けない
でしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

No.20 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/30 00:09

>W1={(1,0,0)}

>W2={(1,0,0),(1,0,0)}
>W3={(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)}
>がR^3ベクトル空間の部分空間である事を示して貰えない
>でしょうか？

どれも部分空間ではないし、ベクトル空間でも
ありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ございません。

今までご回答頂いた内容をもう一度見直して整理させて
下さい。
分からない点が再度わからない点があれば質問させて下さい。

何度もご回答本当にありがとうございました。

お礼日時：2014/07/01 22:52

No.19 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/29 09:43

〉(1,0,0)∈ W ⇒(1,0,0)+？ ∈ W

演算の結果がその集合の要素ではない
演算も定義できます。
例え何ひとつ演算が実行できなくても。

ベクトル空間では
和の結果はからなずそのべクトル空間のベクトル
になる必要があります。
このような演算を
「中に定義している」とか
「閉じている」
とかいいます。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

＞ベクトル空間では
＞和の結果はからなずそのべクトル空間のベクトル
＞になる必要があります。
手元にある参考書にも、その記載はあり理解できます。
ありがとうございます。

W1={(1,0,0)}
W2={(1,0,0),(1,0,0)}
W3={(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)}
がR^3ベクトル空間の部分空間である事を示して貰えない
でしょうか？

R^3については、
∀x,y,z∈R^3⇒x+y+z=R^3
∀x∈R^3⇒cx∈R^3｜c∈R
と理解しています。

具体的に{（1,0,0）}、{（1,0,0）,（0,1,0）}を考えると
ベクトル空間の定義を示せず困ります。

何度もすいませんが、ご回答よろしくお願い致します。
お手数掛けてすいません。

補足日時：2014/06/29 16:44

No.18 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/27 12:28

>x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W

>ですが、x,yはベクトルですよね？
>(1,0,0)}は1つだけのベクトルですが、和はどのように定義
>するのでしょうか？

なかなかするどいですね。

とりあえず R^3 で普通に使っている和とスカラー倍
を流用するということでよいのではないでしょうか？

(1,0,0)　+ (1,0,0) = (2, 0, 0) は {(1,0,0)}の要素ではない

で十分かと。

そこの定義から始めるというのももちろん「あり」だと思いますが、
そうすると当然、R^3 側も同じ規則を適用する必要がありそうです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

＞(1,0,0)　+ (1,0,0) = (2, 0, 0) は {(1,0,0)}
＞の要素ではない
これは、和の定義を満たすのでしょうか？

W ⊂ R^3
W={(1,0,0)}
(1,0,0)∈ W ⇒(1,0,0)+？ ∈ W
となって行き詰りました・・・
これは、そもそも?部で和に加えるベクトルがない・・・

W={(1,0,0),(1,0,0)}
のときも同様で
(1,0,0),(1,0,0)∈ W ⇒(1,0,0)+(1,0,0)∈ W
としてのですが、(1,0,0)+(1,0,0)∈ Wは、和が閉じて
いないので満たしません。
x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W
どのように考えると、x,yを満たすでしょうか？

どこか初歩的な間違いをしているでしょうか？


申し訳ありません。
ご回答よろしくお願い致します。
本当に何度もすいません・・・

補足日時：2014/06/29 00:53

No.17 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/27 07:14

〉W ⊂ R^3だけではダメですか？

ダメです。

例えば

{(1,0,0)}⊂R^3

ですけど、{(1,0,0)} はベクトル空間では
ありません。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
ダメなのですね。
質問して良かった。

最後の質問をさせて下さい。

{(1,0,0)}⊂R^3
についてなんですが、
R^3はベクトル空間で、それの部分集合なだけと
言う事でしょうか？

(1,0,0)}⊂R^3
が部分空間であることを示すにはどのようにして示せば
良いのでしょうか？
ベクトル空間の定義を加えれば良い事はわかります。
具体的に数字が入いった場合どのように書けば良いかが
分かりません。

x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W
ですが、x,yはベクトルですよね？
(1,0,0)}は1つだけのベクトルですが、和はどのように定義
するのでしょうか？


以上、何度も本当に申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/27 11:14

No.16 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/26 09:23

>{（a,b,0）｜a,b∈R}∈R^3

>{（a,0,0）|a∈R}∈R^3
>と言う表記は問題ないでしょうか？

部分空間を表す記号って無いんですよね。

W ⊂ R^3
x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W
x ∈ W, c ∈ R ⇒ cx ∈ W

と書くしかないのかな。

# 0(零ベクトル) ∈ W　含めるのもよく見かけるけど なぜだろう？

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
おかげさまで、だいぶ理解できました。

{（a,b,0）｜a,b∈R}∈R^3
{（a,0,0）|a∈R}∈R^3
は正しくないですね。
R^3なので、必ず3次元ベクトル空間ですね。

前回の補足質問内容ですが、間違っている点はないでしょうか？

Wの定義は、
W ⊂ R^3
x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W
x ∈ W, c ∈ R ⇒ cx ∈ W
理解しました。
W ⊂ R^3だけではダメですか？
わざわざベクトル空間の定義である、和とスカラー倍も書く
必要があるのでしょうか？

{（a,b,0）｜a,b∈R}∈W
は2次元ベクトル空間と言って問題ないでしょうか？
{（a,0,0）|a∈R}∈W
は1次元ベクトル空間と言って問題ないでしょうか？

以上、本当に何度もすいませんがご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/26 22:31

No.15 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/25 18:10

＞なにか参考になるようなサイトなど教えて頂けないでしょうか？

古めかしい本で申し訳ありませんが

線型代数入門 (基礎数学1) [単行本]
齋藤 正彦 (著)

http://www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB …

タイトルからして今風ではありませんが、ネットで非常によく参照される本です。

この回答への補足

何度もご回答本当にありがとうございます。

教えて頂いた参考書をアマゾンで早速注文しました。
ありがとうございます。

ウィキペディアを参照すると、
ベクトル空間R^3は、
{（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）}
を基底に持つ。従ってdim(R^3)=3が成り立つとありました。


ベクトル空間 V の部分空間 W に対して dim(W) ≤ dim(V) が成り立つ。
という事で理解できました。

例えば、
{（a,b,0）｜a,b∈R}
はR^3の部分空間で、次元が2という事ですね。

{（a,0,0）|a∈R}
ははR^3の部分空間で、次元が1という事ですね。

{（a,b,0）｜a,b∈R}∈R^3
{（a,0,0）|a∈R}∈R^3
と言う表記は問題ないでしょうか？

また、
{（a,b,0）｜a,b∈R}∈R^3
は2次元ベクトル空間と言って問題ないでしょうか？
{（a,0,0）|a∈R}∈R^3
は1次元ベクトル空間と言って問題ないでしょうか？

{(x, y, 0)|(x, y　は任意)}
は
{（1,0,0）,（0,1,0）}
と2つの基底を持つから2次元ですね。


{（1,0,0）,（0,1,0）}∈R^2
{（1,0,）,（0,1）}∈R^3
は成り立ちませんね。

基底を構成するベクトルの数はそのベクトル空間で常に一定
である。
これも、ベクトル空間R^3とその部分空間は基底が違えば
次元も違うと言う事で理解しました。


間違い等ありましたらご指摘お願いします。


以上、本当に何度もすいませんがご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/26 00:38

No.14 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/25 14:50

>あるベクトル空間全体が n個の一次独立な基底ベクトルの一次結合で

>表すことができるなら、そのベクトル空間の次元は n なのです。

補足。例えば |(x, y, 0)|(x, y　は任意)}のベクトル空間では
基底に (0, 0, 1) は含められません。なぜならその一次結合のひとつ
(0, 0, 1) は {(x, y, 0)|x, y　は任意}に含まれないからです。

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/24 23:21

>R^3ベクトル空間で、

>x=(1,0,0),y=(0,2,0)として考えると、
>x,yベクトルで、xy平面の全てのベクトルを一次結合で表せる
>事はわかります。
>ただ、これが2次元なのがわかりません。

それがベクトル空間の「次元」の定義なのです。

つまり、あるベクトル空間全体が n個の一次独立な基底ベクトルの一次結合で
表すことができるなら、そのベクトル空間の次元は n なのです。

つまり、次元とはベクトル空間の大きさというか広がりを表す
数値です。xy平面は厚みのない「面」なので２次元というわけ。

(x, 0, 0) (xは任意) というベクトル空間は

α(1, 0, 0) (α: 一次結合の係数) ですべてが表せるので、次元(Dimension) = 1 です。

これらは皆 R^3 の部分空間です。

個々のベクトルの成分数は、数学ではベクトル空間の次元との
混同を嫌って「項数」と呼ぶことが多いですが、これも「次元」と
呼ぶことも少なくないので、これらを混同しないように注意することが大切です。

３次元ベクトル→成分が３個のベクトル＝R^3
２次元のベクトル空間→基底が２個のベクトル空間

と解釈するのが一般的かな。

それから、ランクは次元とよく似ていますが、線形写像(マトリックス)に対して使う言葉で、
ベクトル空間に対しては使えません。

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/24 16:11

>例:(1,0,0)と(2,0,0)

ぼけてました。

z=0 の平面上位置ベクトルの集合がなす部分空間の基底の例　(1,0,0)と(0,2,0)

この回答への補足

何度もご回答ありがとうございます。

＞ベクトルの成分の数とベクトル空間の次元は-般に
＞異なります。
これはどう言う事でしょうか？

{（1,0,0）,（0,1,0）}∈R^2
{（1,0,）,（0,1）}∈R^3
なんて定義出来ませんよね？

基底を構成するベクトルの数はそのベクトル空間で常に一定
である。
R^3における標準基底を例とすると、
{（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）}∈R^3
です。
だから、R^3は3次元、R^2は2次元だと理解しています。

R^3の部分空間の例として、
{(1,0,0),(0,2,0)}∈R^3
だという事は理解できます。

しかし、
{(1,0,0),(0,2,0)}の次元は2次元というのがわかりません。
rank=2だという事はわかるのですが、なぜ2次元なのか
わかりません・・・

R^3ベクトル空間で、
x=(1,0,0),y=(0,2,0)として考えると、
x,yベクトルで、xy平面の全てのベクトルを一次結合で表せる
事はわかります。
ただ、これが2次元なのがわかりません。

せっかく教えて頂いているのに、理解が悪くて申し訳ありません。

私の次元の理解が足りません。手元にある参考書以外のものを
当たってみようと思います。
なにか参考になるようなサイトなど教えて頂けないでしょうか？

以上、申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/24 22:20

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/24 01:47

>次元の定義なのですが、

>Vの基底を構成するベクトルの個数をVの次元と言う。

z=0として1次独立な基底ベクトルが何個作れるか
数えてみて下さい。それが次元です。
Vは基底のー次結合になります。

ベクトルの成分の数とベクトル空間の次元は-般に
異なります。

例:(1,0,0)と(2,0,0)