No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ご質問の趣旨が今一つ不明確です。
(A)「r を計測した場合の誤差」と、「そのr を使って計算した r^2 の誤差」のことを指していますか?
(B)Δ(r)は、各々の測定値の「計測した r と平均値との偏差」(N個存在)ですか? それとも計測値の集団の標準偏差(N個のデータを処理した結果の1個)ですか?
(C)「Δ(r)^2とΔ(r^2)の誤差」とは、この個々のデータの偏差あるいは全体の標準偏差の誤差(つまりは「誤差の誤差」)のことを指していますか?
ここでは、(A)と考えて回答します。つまり、「rの誤差と、r^2の誤差は違うと言われていますが、実際どういう風に計算していいのかわかりません」に対して回答します。
通常、n個の計測値から「分散」やその平方根である「標準偏差」を求めた場合、
分散 = (1/n)Σ[(計測値i)-(平均値)]^2
(Σは、i=1~nの合計)
標準偏差 = √(分散)
となります。ここでは、rの計測値を、r1、r2、・・・、rn とします。
(1)r1~rnの平均値は
rbar = (1/n)Σ(ri) (Σは、i=1~nの合計) (*1)
となりますので、計測値 r の分散は
分散 = (1/n)Σ[ri-rbar]^2 (*2)
となります。
「精度」といった場合、通常は「標準偏差」を意味すると思いますので、(*2)の平方根をとった「標準偏差」(=σ)が「精度」ということかと思います。
正規分布の場合、標準偏差(1σ)内に含まれる確率は68%、2σの範囲に含まれる確率は95%、3σの範囲に含まれる確率は99.7%になります。「精度」が2σ、3σを指すこともありますので、定義には要注意です。
ご質問のように、「ちなみにrの精度は0.0002(m)です」といわれても、もともとのrの標準値がどの程度で、どのような計測方法・計測誤差で何回測定してそうなったのか、というようなことが分からないと、何とも言えません。
(2)次に、r1~rn各々の二乗値を考えると、その平均値は
r2bar = (1/n)Σ(ri)^2 (*3)
となります。これは明らかに(*1)とは異なります。従って、計算値 r^2 の分散は
分散 = (1/n)Σ[ri^2-r2bar]^2 (*4)
となり、(*2)とは異なった値となります。
従って、(*2)の平方根である「r1、r2、・・・、rnの標準偏差」と、(*4)の平方根である「r1^2、r2^2、・・・、rn^2の標準偏差」とは異なります。
あるいは、ひょっとして、(2)は「各々のrの二乗値」ではなく、n個の計測値に対する「二乗平均平方根」(RMS:Root Mean Square)のことをおっしゃっていますか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E4%B9%97% …
この場合は、
RMS = √[(1/n)Σ(ri)^2 ] (*5)
ですので、これを二乗したものは、
RMS^2 = (1/n)Σ(ri)^2 (*6)
となり、(*2)で平均値 rbar = 0 としたときに一致します。
RMS を計算する元の値が、ri そのものではなく、標準値rnomとの偏差Δri であれば、Δri のRMSは
RMS^2 = (1/n)Σ(Δri)^2
= (1/n)Σ[ri -rnom]^2 (*7)
≒ (1/n)Σ[ri -rbar]^2
となり、(*2)とほぼ等しくなります。
計測値から計算した平均値rbarは、母集団の標準値rnomとは厳密には一致しませんが、計測値の測定回数nを大きくすれば、両者はほぼ等しいとみなせます。ご質問の「違うと言われていますが」とはこのことでしょうか。
後半は、勝手にご質問を勝手に「rの標準偏差と、rのRMSは違うと言われていますが、実際どういう風に計算していいのかわかりません」と解釈しての回答です。
いずれの場合も、「定義・本来の意味に立ち返って確認しましょう」ということです。
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