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Δ(r)^2とΔ(r^2)の誤差は違うと言われていますが、実際どういう風に計算していいのかわかりません。
ちなみにrの精度は0.0002(m)です
やり方の分かる方お願いします

A 回答 (2件)

 ご質問の趣旨が今一つ不明確です。



(A)「r を計測した場合の誤差」と、「そのr を使って計算した r^2 の誤差」のことを指していますか?

(B)Δ(r)は、各々の測定値の「計測した r と平均値との偏差」(N個存在)ですか? それとも計測値の集団の標準偏差(N個のデータを処理した結果の1個)ですか?

(C)「Δ(r)^2とΔ(r^2)の誤差」とは、この個々のデータの偏差あるいは全体の標準偏差の誤差(つまりは「誤差の誤差」)のことを指していますか?


 ここでは、(A)と考えて回答します。つまり、「rの誤差と、r^2の誤差は違うと言われていますが、実際どういう風に計算していいのかわかりません」に対して回答します。

 通常、n個の計測値から「分散」やその平方根である「標準偏差」を求めた場合、

    分散 = (1/n)Σ[(計測値i)-(平均値)]^2
         (Σは、i=1~nの合計)

    標準偏差 = √(分散)

となります。ここでは、rの計測値を、r1、r2、・・・、rn とします。

(1)r1~rnの平均値は

    rbar = (1/n)Σ(ri) (Σは、i=1~nの合計)   (*1)

となりますので、計測値 r の分散は

    分散 = (1/n)Σ[ri-rbar]^2       (*2)

となります。

 「精度」といった場合、通常は「標準偏差」を意味すると思いますので、(*2)の平方根をとった「標準偏差」(=σ)が「精度」ということかと思います。
 正規分布の場合、標準偏差(1σ)内に含まれる確率は68%、2σの範囲に含まれる確率は95%、3σの範囲に含まれる確率は99.7%になります。「精度」が2σ、3σを指すこともありますので、定義には要注意です。

 ご質問のように、「ちなみにrの精度は0.0002(m)です」といわれても、もともとのrの標準値がどの程度で、どのような計測方法・計測誤差で何回測定してそうなったのか、というようなことが分からないと、何とも言えません。

(2)次に、r1~rn各々の二乗値を考えると、その平均値は

    r2bar = (1/n)Σ(ri)^2    (*3)

となります。これは明らかに(*1)とは異なります。従って、計算値 r^2 の分散は

    分散 = (1/n)Σ[ri^2-r2bar]^2    (*4)

となり、(*2)とは異なった値となります。

 従って、(*2)の平方根である「r1、r2、・・・、rnの標準偏差」と、(*4)の平方根である「r1^2、r2^2、・・・、rn^2の標準偏差」とは異なります。



 あるいは、ひょっとして、(2)は「各々のrの二乗値」ではなく、n個の計測値に対する「二乗平均平方根」(RMS:Root Mean Square)のことをおっしゃっていますか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E4%B9%97% …

 この場合は、

    RMS = √[(1/n)Σ(ri)^2 ]          (*5)

ですので、これを二乗したものは、

    RMS^2 = (1/n)Σ(ri)^2       (*6)

となり、(*2)で平均値 rbar = 0 としたときに一致します。

 RMS を計算する元の値が、ri そのものではなく、標準値rnomとの偏差Δri であれば、Δri のRMSは

    RMS^2 = (1/n)Σ(Δri)^2
        =  (1/n)Σ[ri -rnom]^2      (*7)
        ≒ (1/n)Σ[ri -rbar]^2

となり、(*2)とほぼ等しくなります。
 計測値から計算した平均値rbarは、母集団の標準値rnomとは厳密には一致しませんが、計測値の測定回数nを大きくすれば、両者はほぼ等しいとみなせます。ご質問の「違うと言われていますが」とはこのことでしょうか。

 後半は、勝手にご質問を勝手に「rの標準偏差と、rのRMSは違うと言われていますが、実際どういう風に計算していいのかわかりません」と解釈しての回答です。

 いずれの場合も、「定義・本来の意味に立ち返って確認しましょう」ということです。
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この回答へのお礼

とても役に立ちました。
今回の場合(2)の場合だったのですが、とても分かり易い回答で助かりました
ありがとうございました

お礼日時:2014/06/21 01:17

同じでしょ。

(Δr)^2とΔ(r^2)なら違いますが。

この回答への補足

出来れば求め方の方も教えていただけると嬉しいです

補足日時:2014/06/20 08:07
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