ｎ次正則行列が可換体を構成する必要十分条件

Question

ｎ＝3，４の場合はどうですか。
ｎ＝５以上の場合はどうですか。

ddtddtddt · Accepted Answer

体の定義をご存じですか？。体は加法と乗法を持ち、加法に関して可換群，乗法に関して群でなければならない。さらに乗法に関しても可換な時、可換体と言われます。

体は加法に関して群なので、零元（零行列）を持たなければならない。

ご存じのように零行列は正則でないので、「ｎ次正則行列が可換体を構成する必要十分条件」はない（ｎ次正則行列から体はつくれない）が、正解になりますが、この際、零行列は別扱いしましょう。つまり、

・零行列とｎ次正則行列が可換体を構成する必要十分条件は？　　　(1)

です。

(1)の一般解はもちろん存在します。何故なら一般解の存在証明が、そのような可換体を作るアルゴリズムの記述だからです。しかしそのアルゴリズムはかなり面倒臭いものになって、簡略な記述というのはまず不可能です。

そこで実用的に十分と思える範囲に話を絞ります。

・零行列と、対角化可能なｎ次正則行列が可換体を構成する必要十分条件は？　　　(2)

これなら簡単な構成法があります。

A，Bを対角化可能な行列とし、AB＝BAであるとき、次が成立します。

AB＝BA　⇔　固有ベクトル基底を共有する．　　　(3)

(3)を根拠として、次の構成法を導けます。

・対角成分が非零の任意の対角行列に、任意の正則行列で相似変換を行って出来る行列全体へ、零行列を加えた行列の集合．　　　(4)

(4)が(2)の一般解です。

ddtddtddt · Answer

#1です。まず前出の(4)の表現は、ちょっと不正確でした。

・対角成分が非零の任意の対角行列に、［任意に一つ固定した］正則行列で相似変換を行って出来る行列全体へ、零行列を加えた行列の集合．　　　(4)

として下さい。つまり任意に選択した正則行列Sごとに可換体K(S)が出来る訳です。ただし正則行列としてT∈K(S)を選ぶと当然、K(T)＝K(S)になります。

一般的な必要十分条件の方は、けっこうマニアックな話になるので、そのものずばりは見た事がありません。もちろん古典的な問題でしょうから、数学の専門書や論文を調べれば解答がありそうな気はしますけれど、アマチュアレベルではないでしょう。アマチュアレベルで手前味噌で良ければ、

http://www.junko-k.com/collo/collo185.htm

があります。上記URL中のリンクも見て下さい。前出(3)の根拠もあります。

対角化可能な方は逆に、線形写像の行列表現の概念と固有空間論の初歩を理解していれば、たやすく予想出来てしまうので、やはり詳細は見た事ありません。例えばウィキでは、可換環の中に（体なら環ですから）、一行の1/4くらいで事実だけ書いてありました。

体の定義をご存じですか？。