線積分の問題だと思うんですけど…

z = x + iy　のとき∫Γ(x - y + ix^2)dzを求めよ。Γはz = 0から　z = 1 + i までを結ぶ線分という問題ですが線積分のやり方がわかりません。どなたか線積分のやり方と問題の御回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： sunflower-san 回答日時： 2014/07/27 21:35

Cを複素数の集合、Γを自己交差のないC内の曲線(曲線の厳密な定義は端折りますが素直なものを想定してください)とすると、適当な単射連続写像 f による単位区間[0, 1]の像Γ= f([0,1]) と表すことができますよね。

すると、「f(0) から f(1) までΓに沿うφ(z) dzの積分」は、z = f(t) という変数変換を通じて、
「0から1まで実軸に沿うφ(f(t)) (df/dt) dtの積分」と書き換えられます(dz = (df/dt) dt です)。0から1までの積分なら見慣れた計算ですよね。

今回はたとえば、z = (1 + i)t とでもおけば、「z = 0 から z = 1 + i までを結ぶ線分」に沿った積分は、「t = 0 から t = 1 までの実軸に沿った積分」に書き換えられますよね。いま、x, y は z の実部と虚部を表していたので、x = t, y = t となります。従って、x - y + ix^2 = it^2, dz = (1 + i) dt
こうして、(x - y + ix^2)dz = it^2 (1 + i) dt = (-1 + i)t^2 dt と書き換えることが出来ました。求める積分はこれをt = 0 から t = 1 までの実軸に沿った積分したもの
(∫[0, 1] (-1 + i)t^2 dt )ですから、(-1 + i)/3 になります。

この回答へのお礼

とてもわかりやすい御回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/07/27 23:03