No.2ベストアンサー
- 回答日時:
素数の定義はご存じですか?
素数でない数が、素数で割り切れるということは定義から明らかですよ。
素数とは1と自身でしか割り切れない数のことですよね。
逆に素数でない数にはそれ以外の約数があるわけです。(ないなら定義により素数ですから)
素数でない数Aが、素数でない数B(1<B<A)で割り切れるなら、Bもまた「素数でないので」、ある自然数C(1<C<B)で割り切れるはずですね。
Cが素数でないなら、さらにD(1<D<C)で割り切れ、、、、
と続きますが、A>B>C>D>・・・>1なのでいずれこの操作は止まります。
その数をXとすると、Xは1<Y<Xであるどんな自然数でも割れないので素数です。
そして、Xは操作から明らかなようにAの約数です。
ご回答ありがとうございます。
>素数でない数にはそれ以外の約数があるわけです。
ここまでは、すんなり理解できました。
その約数が素数が含まれる証明は、明らか(簡単に)できないのでしょうか?
以下、引用------------
a, b, …, k を任意に与えられた素数のリストとする。その積 P := a × b × … × k に 1 を加えた数 P + 1 は、素数であるか、素数でないかのいずれかである。素数であれば、最初のリストに含まれない素数が得られたことになる。素数でなければ、何らかの素数 p で割り切れるが、p はやはり最初のリストに含まれない。なぜならば、リスト中の素数は P を割り切るので、P + 1 を割り切ることは不可能だからである。任意の素数のリストから、リストに含まれない新たな素数が得られるので、素数は無数に存在する。
No.6
- 回答日時:
2以上の整数で素数で割り切れない合成数が存在するなら、下限が2であるから
最小値 n が存在するはずである。
これを n = ab とすると、n>a, n > b であるから、仮定から a, b は素因数を持つ。
すると n は 素数で割り切れてしまう。
これは矛盾であるから n は存在しない。
ユークリッド原論の7巻。
No.3
- 回答日時:
先ほどの回答No.2 では、任意の自然数が素数の約数をもつことの証明をしたのですが、ご理解いただけましたか?
補足で引用されたのはユークリッドによるとされる、素数が無限個存在することの証明ですね。これは非常に簡潔で分かりやすい証明だと思うのですが、納得されていないのはどの部分でしょうか?
>非常に簡潔で分かりやすい証明
自分が相当頭が悪いみたいです。
理解ができません。
-----------
素数でなければ、何らかの素数 p で割り切れるが、p はやはり最初のリストに含まれない。なぜならば、リスト中の素数は P を割り切るので、P + 1 を割り切ることは不可能だからである。
------------
がよく理解できていません。
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