電磁誘導について

ある物理の参考書に、電磁誘導による起電力はローレンツ力によるものだとして説明している図があります。
スキャンするには少し汚いので、自分で大体の図を書いてみましたが、これをアップロードしようとしたらOKwaveの都合で出来ませんでした。しかし、下の私の質問でそのような図は比較的容易に想像していただけるものと思います。この説明にはどうしても理解できないところがあるので、ご存知の方はどうか詳しく説明していただけるとありがたいです。ローレンツ力云々の部分は気にしていませんが、起電力の発生するメカニズムを理解したいのです。

まず、磁石のN極とS極で囲まれた磁界内にコの形をした導体が置かれていて、その上に直線上の導体があります。このままだと電圧は発生しないのですが、一定の速度Vで直線導体を動かしてやると電圧が発生するとあります。
それは、コ形と直線状の導体がコイルを形成し、直線導体を動かすことによって、そのコイルの面積が変化するので、コイルを貫く磁束（磁束密度Bx面積）も変化し、その結果、ファラデーの法則によって　V=-ΔΦ　/Δt　の電圧が誘導されるということになっています。

この説明以前に、導体に磁石を近づけると起電力が発生することが説明されています。これは、磁界の中にただ単に導体を置いているだけではなく、磁石を近づけることによって磁界の強さが変化しているのだから理解できる説明です。
しかし今の問題はどうも納得いきません。

コ形の導体は磁界内に置かれているだけなので起電力には何も貢献しないと思います。
だからコイルの起電力に貢献するのは動いている直線導体だけのはずです。しかしこの導体は磁束密度が一定の磁界内を等速直線運動で移動しているので、つまり導体と交差している磁束には変化がないので起電力など発生しないような気がします。
しかし参考書には、上に書いたとおり、コイルを貫く磁束が変化するので電圧が発生するとなっています。
どうも腑に落ちなくて、困っています。
どなたかよろしくご教授下さい。

No.18 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/07 12:26

>導体が静止しており磁界が移動していることになり

>電場が発生し導体に電圧が発生します。

ちょっとつっこみます。

「磁界が移動している」というは定義できません。
とくに―様磁場では。
あくまで座標変換により、磁場から電場が生まれる。
がよいと思います。

No.17 回答者： mandegansu 回答日時： 2014/09/07 08:33

＞だからコイルの起電力に貢献するのは動いている直線導体だけのはずです。

しかしこの導体は磁束密度が一定の磁界内を等速直線運動で移動しているので、つまり導体と交差している磁束には変化がないので起電力など発生しないような気がします。

導体内の＋と－荷電粒子はローレンツ力により反対方向の力を受けますので導体に電圧が発生します。
運動する導体と同じ座標系でみれば導体が静止しており磁界が移動していることになり電場が発生し導体に電圧が発生します。

No.16 回答者： utikawa2000 回答日時： 2014/09/06 17:21

通常，物理の議論は言葉の行き違いを避けるため数式を使って行いますが，　残念ながらここでは数式表現がうまく出来ないので，代わりにJPEGでノートの図をあげようとしたのですが受け付けてくれませんでした．

#12で　＞電荷に仕事をしているのは，「磁場が働きかける力」に逆らって「われわれが導体棒を動かす力」であって＜
と書いていたのは間違いで，　電荷に仕事をしているのは「磁場から電荷に働くローレンツの力と棒を引っ張ることによる力との合力」　と訂正します．　#8で書いた式(A)です．　この力は導体棒に沿った方向を向いています．

No.15 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2014/09/06 14:37

　#14です。

#14の後半で、磁場を全て電場と書き間違えています。コピペの罠にはまりました。不注意でした。申し訳ない。

No.14 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2014/09/06 14:17

　#7です。

#12さんの話の趣旨が微妙だったので今まで黙っていましたが、#12の結論を見て、#12さんは間違っている、もしくは誤解していると判断しました。

　一番わかりやすい例は、#13さんでしょう。

　伝達系が車輪に対して仕事をしないで、車輪が回るわけありません。

＞v方向と垂直な方向に関しては，棒を引っ張る力の成分は0，磁場からの力の成分が電荷を棒に沿って移動させます．

　磁場からの力の成分が電荷を棒に沿って移動させれば、（仕事の定義から）磁場から電荷への仕事になりますよね？。

　ただし伝達系はモーターから仕事をされているので、伝達系の仕事収支は0です。それは正しい。

　しかしだからといって伝達系がどこにも仕事をしない訳ではない。どこにも仕事をしないなら、モーターからの仕事がエネルギーとして伝達系にたまり続け、車輪がまわらずに伝達系（心棒？）だけが空回りするだけだ。

　同様に磁場が電荷に仕事をしないなら、直線導体を動かす仕事がエネルギーとして磁場にたまり続け、磁場強度が上昇するはずですが、そんな事はない。


＞結果が正しければOKというものではなく，結論に到る途中の過程で物理的に間違った論理展開があってはならないのです．

　気持はわかるし、#12で何を言いたいのかもわかる。そして結果OKで本質を捉えた結論だが、#12のままでは途中過程の論理展開が間違っている。もしくは仕事という用語の意味か、理論の中での位置づけ（運用法）を誤解していると、言わざる得ない。

　電場は電荷に対して仕事をします。

　どうしてもというなら、伝達系をモーター機構の一部みなせば良い。これでモーターは車輪に仕事を伝える。組み合わせは自由だ。直線導体と磁場をタイナモの一部とみなせば良い。現実の発電機はそうなっている。これで発電機は電荷に仕事を伝える。内部機構に踏み込めば、電場という伝達系が、電荷に仕事を伝える。電場は電荷に仕事をする。しなかったら、発電できない。


　という訳で不毛な議論ですね、#13さん。でも一言いわないと、誤解が生じる。

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/06 13:08

ANO12　の議論ですけど、

　機関車は車輪に加わったトルクではなく、モーターに入力された
　電力で動く。車輪とモータをつなぐ伝達系は仕事を伝えるが仕事をしないから、
　その出力である車輪に加わるトルクで　機関車が動くのは間違い。

これと論理構成は全く同じだと思いますが、いかがでしょう？

だとすれば不毛な議論だと思います。

No.12 回答者： utikawa2000 回答日時： 2014/09/06 11:54

〈ローレンツ力にさからって導体棒を動かす〉力の大きさがqvBで、ローレンツ力の大きさはquBです．ベクトルuは電荷の速度で，ベクトルvに対してある角度をなしています．したがって，二つの力（〈ローレンツ力にさからって導体棒を動かす〉力とローレンツ力）は異なった方向を向いています．

No.9で示しているように，ローレンツ力に逆らって《われわれが》vで導体棒を動かす力の大きさはqvBで，この力と《磁場が》働きかけるローレンツ力（大きさquB）のv方向の成分とは釣り合っています．

v方向と垂直な方向に関しては，棒を引っ張る力の成分は0，磁場からの力の成分が電荷を棒に沿って移動させます．

電荷に仕事をしているのは，「磁場が働きかける力」に逆らって「われわれが導体棒を動かす力」であって，それ以外の何者でもありません．磁場は荷電粒子に仕事をしません．

しばしば見かける証明では，vで動く棒の中の電荷の速度（回答ではuとして，vと区別した）が棒の速度vであるとしています（間違い）ので読む時に要注意です．電荷の速度と棒の速度は大きさも向きも異なります．この二つを同一視した上に，さらに，vで動く電荷に働くローレンツ力qvBが行う仕事（磁場は仕事をしないので間違い）から起電力vBL（正しい）を導いています．二重の間違いをして正しい結果が得られたのです！

結果が正しければOKというものではなく，結論に到る途中の過程で物理的に間違った論理展開があってはならないのです．

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/06 11:33

>誘導起電力がローレンツ力から計算できること、ローレンツ力が仕事をしないことは

>矛盾しません。

図を作ってみました。エネルギーは導体棒を押す力が与えているとも解釈できるし、
導体棒を押す力はローレンツ力の一部でキャンセル、残ったローレンツ力が仕事を
しているとも解釈できます。

導体棒の座標系では、荷電粒子が電場によってエネルギーを受けているように見えます。
これらが表裏一体であることはローレンツ変換から明確です。

http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/loren …

砂川さんの本の解説と同じですが,こういう資料もあります。
http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/induc …

形式的に vB を 局所座標系の E に変換して足し合わせればよいことがわかります。

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/05 21:48

しばらく見ない間にこんな話になっていたんですね。

補足ですが、

誘導起電力がローレンツ力から計算できること、ローレンツ力が仕事をしないことは
矛盾しません。

ローレンツ力にさからって導体棒を動かすから仕事が行われます。
ローレンツ力がなかったら暖簾に腕押しで仕事ができません。
誘導起電力とローレンツ力はそういう関係です。

また、磁場はローレンツ変換によって、一部を電場に変換できます。
これはローレンツ変換まで持ち出さなくても、マックスウェルの方程式に
ガリレイ変換を施しても大体同じです。従って導体棒の中で、導体棒に
付随する座標系では、本当に電場が発生しています。つまり電荷に加わる力の
原因が磁場なのか電場なのかは座標系が決めます。
これを積分してやれば誘導起電力が求まります。

どうも頭の中でまだすっきりしていないのですが、「運動する」積分路で
周回積分して起電力を算出する場合は、積分路の線片の運動に付随する局所座標系で電場を出して
積分しないとまずいようです。電磁誘導の法則はまさにそういう形式になっています。

No.9 回答者： utikawa2000 回答日時： 2014/09/04 08:39

No.8で重要なことを書き落としていることに気付きましたので，追加します．

導体棒はレールに沿った（棒と垂直）方向に与えられた一定速度vで運動しているという条件があります．棒，したがって荷電粒子はこの方向に等速運動をしていますから，ベクトル関係式(A)から、この方向に関して

0＝（磁場から働く力）＋（棒を引っ張る力）

のつり合い関係が成り立っていなければなりません．

以上