表面積について

粘土を一つの丸にしました。それを、半分にして二つの丸を作りました。

この時、表面積はどう変わるでしょう？

No.3 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/10/02 15:03

質量保存の法則が成り立つので粘土の重さが一定です。

密度がいたるところ同じとすると体積Vがいくつに分けても足し合わせれば一定です。

(1)丸を円と解釈するとき

厚さtが一定とします。

ひとつのまるのの円の面積をS1、二つの丸の各面積をS2とすると

V=S1*t=2*S2*t

よって

S1＝2S2

一つのときの表面積は、2つに分けた円の合計の面積とおなじです。


（2）丸を球と解釈するとき

一つの球のときの半径をR、二つに分けた時の球の半径をrとすると

V=4πR^3/3=2*4πr^3/3

2r^3=R^3

r=R/2^(1/3)

表面積は

一つの球のときS1＝4πR^2

二つの球のときS2＝2*4πr^2=8πr^2=8π(R/2^(1/3))^2=8πR^2/2^(2/3)

S2/S1=2/2^(2/3)=2^(1/3)

一つの球を二つの旧仁藤分割することによって面積は2^(1/3)＝1.259921..倍になりました。

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/10/03 02:11

まず「丸」がなにを意味するのかさっぱりわからんというのは既に指摘されている通り. 球は「丸」ですか? 円柱は「丸」ですか?

加えて「半分にして二つの丸を作りました」の「作りました」でどのような操作を想定するのかも考えなきゃならない. 「数学的な (実現不可能なな) 操作」も許すのか, 「物理的な (実際に実行できる) 操作」のみとするのかによって答えが変わる可能性がある.

No.6 回答者： spring135 回答日時： 2014/10/02 18:55

＃3です。

＃5の円盤の場合の側面を考慮せよという指摘はもっともだと思います。

体積保存則から

V＝πR^2t=2πr^2

Rは円盤一個のときの半径、rは円盤を２個にした時の半径、tは厚さで一定とする。

上式より

r=R/√2　　　（1）

面積

円盤一個のとき上下面、側面を考えて

S1＝2πR^2+2πRt=2πR(R+t)

円盤二個のとき

S2=2[2πr^2+2πrt]=4πr(r+t)

S2/S1=2r(r+t)/R(R+t)

(1)を代入して

S2/S1=2(R/√2)(R/√2+t)/[R(R+t)]=(R+√2t)/(R+t)

=(1+√2x)/(1+x)

x=t/R

従って非常に薄い円盤のときはx→0となり、S2/S1→1、つまり表面積は不変

ある程度厚さを持ってくると確かにS2/S1>1となり、表面積は増える。その程度は

t=Rのとき

S1/S2=(1+√2)/2=1.2071...

つまり2割がた増える。

ピザパイがx=t/R=0.1ぐらいとすると

S2/S1=(1+√2*0.1)/(1+0.1)＝1.1414../1.1＝1.03765..

4％ほど増えることになります。

No.5 回答者： f272 回答日時： 2014/10/02 17:05

球だろうが円盤だろうが，２つに分ければ表面積が増えると言う結論は変わりません。

> (1)丸を円と解釈するとき一つのときの表面積は、2つに分けた円の合計の面積とおなじです。
> もちろん、厚さが同じで円盤を切り抜いたものだったら面積変わりませんね。

どうして側面積を無視するの？

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/10/02 15:20

その丸の意味が分かりませんが、率直に縦、横、高さの比、すなわち同じ形状だとすると。

　これは、もう常識的な計算ですむ。
　ただ逆の計算か多いですが・・・　
　　(例)　ウルトラマンの身長が40m(一般人の1.7mの約23.6倍)とすると、
　　　　　足の裏の面積は、約553.6倍
　　　　　体重は13030倍
　　　　　足の裏の単位面積当たりの荷重は、23.6倍
　　　　　　それじゃ地面にズフズブとめり込む。
　　とかね(^^)
　
L(長さ)² = S(面積)
L(長さ)³ = V(体積)
ですから、
²√S = L　　S^(1/2) = S
³√V = L　　V^(1/3) = V
　指数法則から
(nV)ⁿ = nⁿ・Vⁿ

球だろうが、円柱だろうが、立方体だろうが、面積 Sは、S = R(定数)L²、体積 Vは、V = R(定数)L³ ということ。すなわち、体積は一辺の三乗に比例し、面積は二乗に比例するのですから、長さは、体積の三乗根、面積は(三乗根)²になるのは明白。２個に増えるのですから
　S = (³√(V))²
半分なら個数は二個になるので、
　S = (³√(1/2))²×2
一般式は、n個に等分してミニチュアを作るのでしたら・・
　S'/S = n{(³√(1/n)}²

　何でもよい、例えば一辺1cmの氷砂糖(表面積は6cm²)を砕いて細粒を作るとして、その形状が同じと見なせば、1000個に砕けば、
　一辺は、³√{1/1000} = 1/10・・1mm(0.1cm)になる。
　　　　一個の表面積は0.06 cm²なので、千個だと60cm²
　　　　60cm²/6cm² = 10倍
　　　S'/S = n{(³√(1/n)}²
　　　　　　= 1000{³√(1/1000)}²
　　　　　　= 1000{1/10}²
　　　　　　= 1000{1/100}
　　　　　　= 10

粘土を一つの丸にしました。それを、半分にして二つの丸を作りました。
この時、表面積はどう変わるでしょう？
　　S'/S = 2{(³√(1/2)}²
　　　　　= 2{(1/(³√2)}²
　　　　　= 2/{1/(³√2)²}
　　　　　≒ 1.26

もちろん、厚さが同じで円盤を切り抜いたものだったら面積変わりませんね。

No.2 回答者： trajaa 回答日時： 2014/10/02 14:12

誤）粘土を一つの丸にしました。

それを、半分にして二つの丸を作りました。

正）粘土を一つの球体（A)にしました。それを、半分にして二つの球体(b)(c)を作りました。

と仮定すると

(A)の体積＝(b)の体積＋(c)の体積

球体の体積を求める公式と体積が半分になった球体の公式と球体の表面積を求める公式を組み合わせると変化の具合が説明できる

No.1 回答者： chie65535 回答日時： 2014/10/02 12:17

＞この時、表面積はどう変わるでしょう？

丸が「球」だった時と、「厚さ１ｃｍの円盤」だった時と、「厚さ５ｍｍの円盤」だった時で、答えが全部違うぞ！

「丸」じゃ、球なのか円盤なのかわからん。

顔洗って出直して来い。

マイナス２０点。