最低何個のイヤリングを取り出せばよいのか。

Question

同じ形の金、銀、プラチナのイヤリングをそれぞれ９組ばらばらにして１つの箱のなかに入っている。いまなかの見えない箱から、イヤリングを何個か取り出して10組を確実に揃えるためは最低何個のイヤリングを取り出せばよいか。

この質問のいみも解説をよんでも全く意味がわかりません。
なんか解説には偶数とか奇数とか書いてるんですが、
数学的な知識がないと解けない問題なのでしょうか。

わかりやすく解説してほしいです。よろしくお願いします。

staratras · Accepted Answer

これは箱の中に残ったイヤリングを10組にするのではなく、取り出したイヤリングが確実に10組となるようにするには最低何個取り出せばよいかという問題だと考えます。

10組のイヤリングは左右合わせて20個からなりますので、20個以上必要なことは自明ですが、20個ならば確実に10組できるかといえばそうはなりません。例えば金7個、銀7個、プラチナ6個の場合、金と銀はそれぞれ一つずつ余るので、3組ずつしかできず合計9組しかできないからです。

ここで余り(はした)が生じるのは、それぞれの金属について取り出したイヤリングの個数が奇数のときです。

取り出した合計の個数が偶数のときは3種類の金属について、偶数+偶数+偶数　または　奇数+奇数+偶数なので奇数は最大で2種類の金属です。

また取り出した合計の個数が奇数のときは3種類の金属について、偶数+偶数+奇数　または　奇数+奇数+奇数なので奇数は最大で3種類の金属です。

したがって、取り出した個数の合計が偶数の方が、最低取り出す個数が少なくて済みます。このとき2種類の金属ではしたが生じる場合なので20+2＝22(個)です。上の例に近い例でいえば、金7個、銀7個、プラチナ8個ならば3+3+4で合計10組できます。

MagicianKuma · Answer

質問者さんの補足などから推定すると、イヤリングに左右の区別はないようですね。でもって偶数・奇数がでてくるのは一つの考え方です。というのは左右の区別がないとすると、同じ種類(金とか銀とか)のものを偶数個取り出すとその1/2組がそろうわけです。で全体で10組そろえるには最低20個は取り出す必要がある。だけど20個を3つに分けると偶数＋偶数＋偶数の場合もあれば奇数＋奇数＋偶数の場合もある。(20個だから奇数＋偶数＋偶数とか奇数＋奇数＋奇数はない）
偶数＋偶数＋偶数の場合は10組そろうが、奇数＋奇数＋偶数の場合だと1組足りない(9組しかない）なので、あと何個取れば良いかということになる。で1個足すだけだと奇数＋奇数＋奇数となって、10組にならない場合もある。更にもう一個足すと無事10組完成するという事になる。

opiok · Answer

ANo.3とANo.9の回答者です。
自分は次のように考えました。
4+2*8+2=22個
自分の考え方では、「偶数とか奇数とか」が関係ないと思ったので、ANo.3でお尋ねした次第です。
自分の考え方は、金、銀、プラチナをそれぞれA、B、C（順不同）とし、まずA、B、Cを1個ずつ取り出したことを考えます。（もっとも揃わない状態）
4個目には、何を取り出しても必ず1組が揃います。
5個目には、4個目に揃った金属と同じ種類の金属のものを取り出したとすると、また3個が揃わない状態になります。
6個目には、また何を取り出しても必ず1組が揃います。
以下同様に考えて、4+2*8=20個取り出せば、確実に9組揃います。
この9組が全てAだとすると、半端な2個はBとCになり、箱の中にはBとCしか残っていないので、いずれにしても21個目で10組揃います。
しかし、この9組にAとBとCが、2種類または3種類混在していた場合には、半端な2個はAとBか、AとCか、BとCになり、いずれの場合も第三の金属のものが箱の中に必ずあるので、21個目に第三の金属のものを取り出した場合には、新たな1組が揃うことなく、AとBとCが1個ずつ半端になります。
さらに22個目を取り出せば、必ず新たな1組が揃うので、答えは22個になります。

kohichiro · Answer

20個取り出した時点で最悪の選択はたとえば　金１７個、銀２、プラチナ１
１）この次から銀が続き始めたら、あと２個　は１０個目が完成しません。プラチナが出ても同じです、２０+１+１＝２２個　目に完成します。

２）最小の可能性はもちろん２０個でしょう。

20個取り出した時点で最善の選択は金１６個、銀２、プラチナ２

要は奇数の種類が出れば２個余分に必要になるということでしょう。

staratras · Answer

No.5です。少し補足させてください。(数学とはほとんど関係ありませんが)イヤリングには左右同じ形のものと、左右で異なるデザインのものの両方のタイプがありますが、前者のほうが一般的です。回答もその前提で考えました。

ただしこの問題では、そのどちらのタイプのイヤリングで考えるかで、答えが当然異なってくるので、問題文に明記すべき(特に左右を区別させたいのであれば必須)だと考えます。問題文がご質問のとおりだとすれば、最初の「同じ形の金、銀、プラチナのイヤリング」という表現のなかに、出題者は「左右同じ形」という意味も持たせたいのかもしれませんが、それは無理だと思います。

なお回答者は、何個か決められた個数のイヤリングをまとめて取り出し、その後で組(ペア)を作る想定で回答しましたが、一つ一つ取り出してその都度組(ペア)を作ってゆく想定もあり得ます。

この場合も、10組目のペアが成立したとき、その10組目の金属以外の2種類の金属に１つずつ余り(はした)がある場合が最も多くのイアリングを取り出す場合なので、確実に10組作るには最低22個取り出す必要があるという答えの結論は変わりません。

opiok · Answer

ANo.3の回答者です。

きちんと補足しないと、仮定での回答が続出しますよ。

stomachman · Answer

まず、「（箱の中を見ないで）N個を選ぶと、(どんなに運が悪くても）M組が確実に揃う」ってのは、言い換えれば「N個を選ぶと、どうしても（箱の中をよく見て工夫して選んでも）、少なくともM組が嫌でも揃ってしまう」というのと全く同じことです。
　一見すると「なるべく揃えたがってるという状況と、なるべく揃えたくないと思っているという状況じゃ、まるで逆じゃないか？」と不思議に思われるかもしれない。けれども落ち着いて考えれば、両者は実は全く同じことなんだ、と分かる筈。ここんとこが最も重要なポイントですから、よーく考えて理解して下さい。

さて、問題文がいささか曖昧だけれども、多分、

イヤリングには右用と左用の区別があって、
・材質が金の右用イヤリングと左用のイヤリングがそれぞれG個
・材質が銀の右用イヤリングと左用のイヤリングがそれぞれS個
・材質がプラチナの右用イヤリングと左用のイヤリングがそれぞれP個
入っている箱がある。箱の中からN個をどう選んでも、取り出したN個の中で、同じ材質の右用イヤリングと左用イヤリングの対が少なくともM組できるような（つまり「どう選んでも確実にM組以上が揃う」ような）、最小のNを求む。（ただし、G=S=P=9, M=10）

というのが問題なのでしょう。

以下、そうだと仮定して話を進めます。

「箱の中をよく見て上手に選べば、(M-1)組の対しか出来ないようにできる」ような最大の個数をHと定義しましょう。このとき、「NをHで表せ」という問題(Q1)を考えます。
　Hの定義により、もし箱の中からイーカゲンにH個を選ぶと、(M-1)組の対しか出来ないという場合もありうるから、確実にM組の対ができるとは限らない。なので
　　N ＞ H
ですね。
　さて、(M-1)組の対しか出来ないように選ぶには最大H個までしか選べないのだから、それより1個多く選べば、どう選ぼうとも少なくともM組の対が嫌でも揃ってしまう。なので、求めるNは
　　N = H+1
です。これが問題(Q1)の答。

そこで、「Hは幾らか」という問題(Q2)を考えます。
　「まず、右用イヤリングと左用イヤリングの対をM-1組選んで取り出しておく」と考えます。例えばそのM-1組が金のものg組, 銀のものs組, プラチナのものp組だとすると、
　　M-1 = g+s+p
であり、残りのイヤリングは
・材質が金の右用イヤリングと左用のイヤリングがそれぞれG-g個
・材質が銀の右用イヤリングと左用のイヤリングがそれぞれS-s個
・材質がプラチナの右用イヤリングと左用のイヤリングがそれぞれP-p個
です。そして、これら残りの中から「旨くK個を選んで、同じ材質の右用イヤリングと左用イヤリングの対が、ひとつも出来ないようにする」という選び方ができるような最大の個数Kを求む、という問題(Q3)を考えます。

この問題(Q3)なら簡単。もちろん、「どの材質についても、同じ材質のものは右用ばっかりか、あるいは左用ばっかり」となるように選べば、対ができないようにできる。たとえば、金のものは左用ばっかり、銀のものとプラチナのものは右用ばっかりを選べば良い。あるいはどの材質も全部左用ばっかり選んでも良い。（もし「同じ材質のものは右用ばっかりか、あるいは左用ばっかり」という規則を破ると、それは「選んだ中に、同じ材質で右用のものと左用のものがある」ということだから、必ず対ができてしまう。）
　で、そのような選び方ができる最大の個数Kは、
　　K = G-g+S-s+P-p
です。これが問題(Q3)の答。

だから、(M-1)組の対しか出来ないように選ぶには、対になる2(M-1)個と、対にならないK個と、合わせて
　　H = 2(M-1)+K
個までしか選べないということです。これが問題(Q2)の答。

まとめますと、(Q3)により
　　K = G-g+S-s+P-p = G+S+P-M+1
なので(Q1)と(Q2)により
　　N = H + 1 = 2(M-1)+K+1 = M+G+S+P

G=P=S=9, M=10の場合なら、
　　N=37
です。

おしまい。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

> 偶数とか奇数

もし本当に「偶数」だの「奇数」だのに意味があるんなら、この回答は問題の趣旨を誤解しているのかも。だとすると、まずは問題文を正確に書き写していただかないとな。

Cupper-2 · Answer

イヤリングってのは２つで１組なのは分かりますよね。

＞同じ形の金、銀、プラチナのイヤリングをそれぞれ９組ばらばらにして１つの箱のなかに入っている。
　　３種類のイヤリング９組が箱に入っている。
　　ただし左右バラバラにしてある。
ってことですね。

＞イヤリングを何個か取り出して10組を確実に揃えるためは最低何個のイヤリングを取り出せばよいか。

１０組のイヤリングをそろえるんです。
最低いくつ取り出せば良いか・・・は分かりますよね。
考えるまでもなく答えは２０個なんですけどｗ
そして、「確実に」ってところがこの質問のミソ。
単に２０個取り出しても１０組になるのはかなりの確率ですからね。
素直に全部取り出せば１０組確実にそろえられますが、最低どれだけ取り出せば良いかを問われています。

まあ、それを踏まえて他の人の回答を参考にしてください。
・・・って思ったけど（涙
数式を使わない説明をしてみます。

どのような組み合わせがあるのかを考えてください。
とりあえず２０個取り出す。
　・１０個ペアになっている
　・９個ペアになり、２つ余っている
のどちらかになるはずです。
３種類しかないのです。ペアにならずに余る数は２個が確定です。
では２１個取り出したとき
　・１０個ペアになり、１つ余っている
　・９個ペアになり、３つ余っている
では２２個取り出したとき
　・１１個ペアになっている
　・１０個ペアになり、２つ余っている
となります。
そんなわけで答えは２２個取り出したとき、確実に１０個のペアができるとなります。

数学的に考えても良いのですが、このように組み合わせを考えるだけで解ける問題もあります。

yyssaa · Answer

ああ勘違い。済みません。
回答No.1は、質問(問題)の部分以外は無視してください。

kohichiro · Answer

数学は丸木氏だめですが、
＞10組を”確実に”揃えるためは
となっているので、同一種の全部と異種の１組が出せれば　１０組　完　です。

３X２X9＝５４　のうち　うまくいけば　２０個取り出し　で完ですが、そううまくいくとは限りません。

残り１８　で　(残りすべてが同一材質でも）１８組できるから、そこからー８　が１０組完できる最低のケースではないでしょうか。
つまり　残数が２６　５４－２６＝２８　個取り出さねばならない。どーだ！

最低何個のイヤリングを取り出せばよいのか。

これは箱の中に残ったイヤリングを10組にするのではなく、取り出したイヤリングが確実に10組となるようにするには最低何個取り出せばよいかという問題だと考えます。

この回答への補足

質問者さんの補足などから推定すると、イヤリングに左右の区別はないようですね。

ANo.3とANo.9の回答者です。

20個取り出した時点で最悪の選択はたとえば 金１７個、銀２、プラチナ１

No.5です。

この回答への補足

ANo.3の回答者です。

この回答への補足

イヤリングってのは２つで１組なのは分かりますよね。

この回答への補足

ああ勘違い。

数学は丸木氏だめですが、

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