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ばね振動において運動エネルギーと位置エネルギーのやり取りを次の瞬間ごとに説明お願いします

1.ばねを引っ張って伸ばした(振動開始時)
2.ばねが自然長になった
3.おもりが行き過ぎて停止した(折り返し)
4.おもりが戻ってきてばねが自然長
5.最初のところに戻った

A 回答 (2件)

 ばねを引っ張って伸ばした(あるいは押して縮めた)ときのポテンシャルエネルギーは、ばね定数をk、伸ばした(あるいは縮めた)変位をxとして、



   U=(1/2)・ k・x^2

 従って変位Aのときのポテンシャルエネルギーは。

   U=(1/2)・ k・A^2   (1)

これが「1」の状態です。

 ばねに関する「フックの法則」を参照ください。
    ↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%83% …


 このばねに質量mの物体を付けて、変位をAのところから手を離して、自由振動させたときの変位は、

   x=A・cos(ωt)  ただし ω=√(k/m)

 速度は、これを微分して

   v=dx/dt=-A・ω・sin(ωt)


 「2」の状態、つまり変位がゼロ(=自然長)になるのは、ωt=π/2 のときで、そのときの速度は

   v=-A・ω・sin(π/2)=-A・ω=-A・√(k/m)

 従ってそのときの運動エネルギーは。

   E=(1/2)・m・v^2
   =(1/2)・m・A^2・(k/m)
   =(1/2)・k・A^2       (2)

 このときx=0なので、ポテンシャルエネルギーはゼロです。


 「3」の状態、つまり調和振動が手を離した反対側(引っ張って離したときは、最も縮んだ時)のときには、ωt=π なので

   x=A・cos(π)=-A

 従ってポテンシャルエネルギーは

   U=(1/2)・ k・A^2   (3)

 速度は

  v=-A・ω・sin(π)=0

なので運動エネルギーはゼロです。


 「4」については、、ωt=3π/2 のときで、そのときのポテンシャルエネルギーはゼロ、速度は

   v=-A・ω・sin(3π/2)=A・ω=A・√(k/m)

なので、そのときの運動エネルギーは。

   E=(1/2)・m・v^2
   =(1/2)・m・A^2・(k/m)
   =(1/2)・k・A^2       (4)


 「5」の最初のところでは、(1)になります。
(摩擦や空気の抵抗など、ロスがない理想的な状態の場合)


 以上が、「1」~「5」に対する答です。
 つまり、ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーが置換されて、「エネルギー保存の法則」が成立している状態です。
 「1」~「5」の途中の状態では、ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーがどちらもゼロではなく、合計値が (1/2)・k・A^2 になっているということです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
助かりました(^_^)

お礼日時:2014/11/03 23:38

> ・・・やり取りを次の瞬間ごとに・・・


瞬間にはやり取りはありませんが。。。
たとえば、1から2までの間のやり取りなら、
# 位置エネルギーが減っていき、その分、運動エネルギーが増えていく
という説明ができます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/11/03 23:38

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