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リー代数の単純ルートに関してわからないことがあります。

(h*_R):双対実カルタン部分代数
Δ:ルート系
{v_1,…,v_n}:(h*_R)の基底

(h*_R)の一つの元αは、α=Σ^n_(i=1)(a_i)(v_i)(a_i:実数)と書くことができ、別の元βはb_iを用いて表現できる。ここでαとβの大小関係を以下で定める。
α>β⇔ a_1=b_1,…, a_(s-1)=b_(s-1), a_s>b_s(1≦s≦n)
この大小関係で、α>0となるα全体の集合を(h*_R)+と書き、さらに、Δ⋂ (h*_R)+=Δ+とおく。

αをΔ+の中で上記の大小関係で最小のもの、すなわち、α_1=min(Δ+)とする。
また、Δ+からα_1の実数倍となる集合<α_1>を除いたものを、(Δ+)-<α_1>と書き、α_2=min((Δ+)-<α_1>)とおく。
次に、α_1, α_2の線形結合で表わされる2次元実部分空間を<α_1, α_2>と書き、Δ+からその空間を除いたものを、(Δ+)-<α_1, α_2>と書いて、α_3=min((Δ+)-<α_1, α_2>)とする。
これを続けるとn個の元の集合Π={α_1,…,α_n}が得られる。このように作ったΠの任意の元α_iに対して次が成り立つ。
(1)α_i∈Δ+
(2)α_i=β+γ(β,γ∈Δ+)と表わすことができない。
この2つをみたすルートを単純ルートという。

と本にあったのですが、α_iに対して、(2)がなぜ成り立つのかがわかりません。
大変恐縮ですが、証明を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

{v_1, …, v_n} での成分表示を考えるとβとγはどちらもα_iより小っさくないといけないような気がします。

そうだとするとα_iはminだからβとγはα_1, α_2, …, α_(i-1)の線型結合の方なんだけどそうするとα_i=β+γもそうなってしまうからそれはできない感じがします。
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