物理 理想気体と圧力

高校物理です。
理想気体が示す圧力の大きさが
気体分子が単位時間に容器の壁から受ける運動量の変化の平均に比例するのはなぜですか？

計算式があればよろしくお願いします。

No.3 回答者： kamobedanjoh 回答日時： 2014/11/23 10:59

ボイル・シャールの法則

V=RT/P　（V:体積、T:気温、P:圧力、R:気体定数）　⇒　PV=一定
の関係は、完全に密閉された容器内で、且つ、外部との熱交換が全くない条件（断熱状態）下の公式です。
ご質問の状況では、気体分子が壁に衝突して、「壁から受ける運動量（エネルギーの交換）」を考えています。
エネルギーを持った気体分子の自由で乱雑な運動が、圧力として反映され、容器壁との熱の遮断がなければ、気体分子は熱せられるか冷やされるかのいずれかです。
つまり、温度が変化していますから、温度変化が与えられれば分子運動量も変化し、PV=一定の関係も崩れます。
個々の気体分子の運動量は考えなくても、全体の平均を取れば、
「気体分子が単位時間に容器の壁から受ける運動量の変化の平均に比例する」
のは、当然の結果ではないですか。

No.2 回答者： uen_sap 回答日時： 2014/11/23 08:00

アレレ

圧力とは、単純には壁を押す力です。
気体は小さい粒子の集合体ですから、粒子が壁を押す力とは、
壁にぶつかって反対方向に飛び去る際に発生する、運動量変化（運動量の時間微分、これが力）しか
ないではないですか。
粒子は無茶苦茶数が多いですから、われわれが感じるのは平均だけですね。
計測器が発達して、粒子個々の流速及びその変化を測定できるようになったとすると、平均値とかけ離れ動きをする粒子が存在することが確認できるでしょうが、それはそれで終わり。
平均値で論じて、物理的整合性は保たれます。

No.1 回答者： etaoinshadaloo 回答日時： 2014/11/23 02:15

簡単の為、x-y-z座標系において、一片の長さがLの立方体の空間を考えます。

どの方向で扱っても一般性を失わないので、
例えば、x軸正方向に1個の分子（質量m）が壁に速度v(x)で垂直に完全弾性衝突して、
負方向に速度-v(x)で反射されたとすると、分子は運動量の変化から、
-mv(x)-mv(x)=-2mv(x)
の力積を受けたことになり、作用・反作用の法則により、壁は分子から2mv(x)の
力積を受けたことになります。この分子が左右の壁を往復する時間は、
2L/v(x)なので、力積は、力をfとすると、時間をtの間に、tv(x)/2L[回]衝突するので、
ft=2mv(x)・v(x)t/2L
両辺を時間tで割るか、或いは、
最初から単位時間(1秒)当たりの力積は力そのものと考えて、
f=2mv(x)・v(x)/2L=mv(x)^2/L
が導かれます（v(x)^2は、v(x)の二乗の意）。

分子が全部でN[個]あり、その力の合計をFとすると、
F=fN=Nmv(x)^2/L
等方性により、v(x)^2の平均＝v(y)^2の平均＝v(z)^2の平均＝v^2の平均/3ですが、
v^2の平均は、便宜上＜v^2＞と書く（高校課程では文字の上にバー）ことにして、
圧力は単位面積当たりの力なので、L^2で割ってやると、
P=F/L^2=Nm＜v^2＞/(3・L^3)
体積Vは長さLの三乗に等しいので、V=L^3と置き換えて、
P=Nm＜v^2＞/3V

質問の題意が、
「理想気体が示す圧力の大きさが気体分子が単位時間に
容器の壁から受ける運動量の変化の平均に比例するのはなぜか？」
なので、回答は上記のようになりますが、「気体分子運動論」で検索すると、
さらに情報が得られるかもしれません。