プロが教えるわが家の防犯対策術!

こんばんわ。さっそくですが、

x^n/n! → 0 (n→∞)

だと思うのですが、これの証明の仕方が分かりません。
はさみうちとかかすかな記憶を辿ったのですが、ダメでした・・・。
どなたか教えていただけませんでしょうか?
証明が書いてあるHPでも構いません。

A 回答 (3件)

数列a(n)に対して


 lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α
なるαが存在して
 0<α<1ならばa(n)→0 (n→∞)

を使います
 a(n)=x^n/n!
と置くと
 a(n+1)/a(n)=x/(n+1)→0 (n→∞)
よって
 lim[n→∞]a(n)=lim[n→∞](x^n/n!)=0

上の定理の証明の前に別の定理を証明して
(1)
あるα(>0)と0<r<1がぞんざいして
任意の自然数nに対して
 |a(n+1)-α| < r|a(n)-α|
  ⇒lim[n→∞]a(n)=α
(証明)
|a(n+1)-α| < r|a(n)-α| より

 |a(n+1)-α| < r|a(n)-α| < (r^2)|a(n-1)-α| < …
              < (r^(n-1))|a(1)-α|

 |a(n+1)-α| < (r^(n-1))|a(1)-α|
0<r<1より
 lim[n→∞](r^(n-1))=0
従って
 lim[n→∞](|a(n)-α|)=0

 ∴lim[n→∞]a(n)=α
            (証明終わり)

定理(1)を使って最初に書いた定理
(2)
数列a(n)に対して
 lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α
なるαが存在して
 0<α<1ならばa(n)→0 (n→∞)
(証明)
 lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α<1
より、ある自然数Nとr(0<r<1)が存在して
 n≧N ⇒ |a(n+1)/a(n)|≦r
右を変形して
 |a(n+1)-0| ≦ r|a(n)-0|
この議論より
 lim[n→∞]a(n)=0
          (証明終わり)

この定理とダランベールの判定法がどう違うのか
私には理解できてませんが、とりあえずこれで一通り証明できてるはず。
    • good
    • 0

スターリングの公式を使うのではだめでしょうか?


ちなみにスターリングの公式とはnが十分大きいときにnの階乗を近似するもので、次のようなものです。
n! ≒ √(2πn)n^{n}e^{-n}
これを使えば、n→∞のとき、
x^{n}/n! ≒ x^{n}/√(2πn)n^{n}e^{-n}
     = (ex/n)^{n}/√(2πn)
     → 0
となります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
その公式はまったく知りませんでした。その公式の証明から入りたいところですが、
なんとか頑張ってみます。どうもでした。

お礼日時:2004/06/10 17:46

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=884508

の(1)とかですかね?

上記質問ではR>0となっているので、 haruka0322さんのご質問で、x<0の場合には証明されていませんが、絶対値をとれば、証明できますね。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=884508
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
ついちょっと前に同じ質問があったとは・・・申し訳ない。
なんとかなるかもしれません。どうもでした。

お礼日時:2004/06/10 17:45

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!