A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
数列a(n)に対して
lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α
なるαが存在して
0<α<1ならばa(n)→0 (n→∞)
を使います
a(n)=x^n/n!
と置くと
a(n+1)/a(n)=x/(n+1)→0 (n→∞)
よって
lim[n→∞]a(n)=lim[n→∞](x^n/n!)=0
上の定理の証明の前に別の定理を証明して
(1)
あるα(>0)と0<r<1がぞんざいして
任意の自然数nに対して
|a(n+1)-α| < r|a(n)-α|
⇒lim[n→∞]a(n)=α
(証明)
|a(n+1)-α| < r|a(n)-α| より
|a(n+1)-α| < r|a(n)-α| < (r^2)|a(n-1)-α| < …
< (r^(n-1))|a(1)-α|
|a(n+1)-α| < (r^(n-1))|a(1)-α|
0<r<1より
lim[n→∞](r^(n-1))=0
従って
lim[n→∞](|a(n)-α|)=0
∴lim[n→∞]a(n)=α
(証明終わり)
定理(1)を使って最初に書いた定理
(2)
数列a(n)に対して
lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α
なるαが存在して
0<α<1ならばa(n)→0 (n→∞)
(証明)
lim[n→∞](|a(n+1)/a(n)|)=α<1
より、ある自然数Nとr(0<r<1)が存在して
n≧N ⇒ |a(n+1)/a(n)|≦r
右を変形して
|a(n+1)-0| ≦ r|a(n)-0|
この議論より
lim[n→∞]a(n)=0
(証明終わり)
この定理とダランベールの判定法がどう違うのか
私には理解できてませんが、とりあえずこれで一通り証明できてるはず。
No.2
- 回答日時:
スターリングの公式を使うのではだめでしょうか?
ちなみにスターリングの公式とはnが十分大きいときにnの階乗を近似するもので、次のようなものです。
n! ≒ √(2πn)n^{n}e^{-n}
これを使えば、n→∞のとき、
x^{n}/n! ≒ x^{n}/√(2πn)n^{n}e^{-n}
= (ex/n)^{n}/√(2πn)
→ 0
となります。
この回答へのお礼
お礼日時:2004/06/10 17:46
ありがとうございます。
その公式はまったく知りませんでした。その公式の証明から入りたいところですが、
なんとか頑張ってみます。どうもでした。
No.1
- 回答日時:
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=884508
の(1)とかですかね?
上記質問ではR>0となっているので、 haruka0322さんのご質問で、x<0の場合には証明されていませんが、絶対値をとれば、証明できますね。
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=884508
の(1)とかですかね?
上記質問ではR>0となっているので、 haruka0322さんのご質問で、x<0の場合には証明されていませんが、絶対値をとれば、証明できますね。
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=884508
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