トランジスタで周波数変換できる理由

トランジスタのベースに、周波数Aと周波数Bをを混合させて入れると、
A-Bの式が成り立ち、目的の中間周波数が得られると習いました。
トランジスタ内のダイオード（ベースからエミッタの部分）の特性の0.6vを利用しているそうです。
0.6Vの部分がちょうど、グラフが非線形らしく、そのために0.6Vだそうです。

以上から疑問があります。

１、何故、トランジスタに周波数を二つ入れると、差が出てくるのでしょうか？
２、差が出てくる理由がダイオードにあるのならば、何故、ダイオードを使わないのでしょうか？
３、0.6Vの非線形の部分を利用しているそうですが、いまいちイメージできません。どういうことなのでしょうか？

質問ばかりして申し訳ありませんが、教えて頂けると助かります。
よろしくお願いします。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/01/20 23:01

こちらでも一部の回答で混乱しているようですが、

非線形性で信号の積の成分が生まれることで
周波数変換が行われるという点は問題ないですが、

そこに包絡線の振動(ビート、うなり)を持ち込むのは間違いです。
数学的には峻別される別の現象です。ご注意を。

No.7 回答者： imoriimori 回答日時： 2015/01/19 16:19

#4,#6です。

「周波数を二つ混合すると、包絡線に包まれた上下正弦波を合わせたような恰好のグラフができるかと思います（よね？）。そして、グラフの内部には細かい正弦波が存在するはずかと思います。
包絡線を音声信号と理解できているのですが、上下正弦波を合わせた格好のグラフ内部に存在する細かい正弦波は、二つの周波数のどちらだと判断すればいいのでしょうか？」
→その図の細かい正弦波（要するに高周波のほう）は搬送波です。

「大きくて緩やかな正弦波（搬送波）と細かい正弦波（音声信号）がトランジスタで混ぜ合わされると思うのですが、二つの周波数のどちらが搬送波で、どちらが音声信号かの判断がつかないといった状況です。」
→「大きくて緩やかな正弦波」は音声信号のほうです。「細かい正弦波」すなわち高周波のほうが搬送波です。

「w1+w2、w1-w2のどちらかが音声信号で、どちらかが搬送波なのですよね？」
→違います。どちらも変調された変調波の周波数であり、上側波帯と下側波帯を形成するものです。搬送波は、w1もしくはw2（周波数の高い方）です。

「上側波帯と下側波帯が存在するかと思うのですが、それは式に反映されていないですよね？」
→cos(ω1t-ω2t)とcos(ω1t+ω2t)という両側波帯がちゃんと式に出ているではありませんか？？？

これ以上は私にはお助けできないと思いますので他の方よろしくお願いいたします。

No.6 回答者： High_Score 回答日時： 2015/01/18 18:46

入力と出力の間が非線形の場合に差の周波数を作れます。

平たく言うと、横軸に入力電圧、縦軸に出力電圧でグラフを書くと、直線でなくカーブを描いた図になる場合です。全体的に直線ぽくても動作点付近（０．６V)でカーブ描いてれば可能です。

入力電圧Vin=Vasin(wat)+Vbsin(wbt)とおく。ただし
wa=2πfa, wb=2πfb
非線形なので入出力の関係式は
Vout=AVin^2+BVin+C
で表される。Voutを計算すると

Vout=A{Vasin(wat)+Vbsin(wbt)}^2+B{Vasin(wat)+Vbsin(wbt)}+C
=A{Vasin(wat)}^2+{Vbsin(wbt)}^2+2AVaVbsin(wat)sin(wbt)+B{Vasin(wat)+Vbsin(wbt)}+C
ここで三角関数の公式
sinαsinβ=1/2*{cos(α-β)-cos(α+β)}
{sinα}^2=(1-cos2α)/2
を使うと
Vout=AVa(1-cos2wat)/2+AVb(1-cos2wbt)/2+AVaVb{cos(wa-wb)t-cos(wa+wb)t}
+B{Vasin(wat)+Vbsin(wbt)}+C

faの基本波 BVasin(wat)
fbの基本波 BVbsin(wbt)
fa+fb成分　AVaVbcos(wa+wb)t
fa-fb成分　AVaVbcos(wa-wb)t
faの２倍高調波成分　-AVa/2*cos2wat
fbの２倍高調波成分　-AVb/2*cos2wbt
直流成分　AVa2+AVb/2＋C

上式のように、非線形素子を通すと元々あったfa,fbの他に和の成分、差の成分、２倍高調波成分が発生します。後はfa-fbだけを通すフィルタを通せば、差の成分だけ取り出せます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

詳述してくださった式をまだ理解できてはおりませんが、ノートに記して、考えてゆきたいと思います。

要点として、トランジスタを通すことにより、多くの成分が検出されるということを知りました。
私はトランジスタは「hf倍、電流を増大させるだけのもの」「スイッチングができるもの」だと理解しておりました。
「周波数を混ぜる混合器」として利用できて、結果、こんなにも様々な周波数を得られるということに驚きを感じ、また、面白さも感じております。

回路をもっと理解できるように勉強に励みたいと思います。
その際に、またこちらで質問をすることがあるかと思いますが、そのときはまた教えて頂ければありがたく思います。

ありがとうございました。
それでは、失礼します。

お礼日時：2015/01/19 05:05

No.5 回答者： imoriimori 回答日時： 2015/01/18 13:55

＃４です。

「級数展開について、まだ習っていないのですが、」
→うーん。高校あたりで学ぶはずなんですが。未習だとすると、次のように思えば良いです。二乗とか三乗のカーブは曲がっている。ならば、曲がっている特性曲線は、一乗の項の他に二乗とか三乗の項が少し混じっているはずだ。と。

「..... できるということでしょうか？」
→　はい。

「(ω1＋ω2)はどのように導き出すのでしょうか？」
→あなたの式の-cos(ω1t+ω2t)というのがそれですが。

「搬送波や上側波帯、下側波帯の式と似ている気がするのですが」
→そのとおりです。AM変調なんか、まさに同じです。ω1+ω2とω1-ω2が上側波帯と下側波帯です。

「搬送波等は関係ないのでしょうか？」
→ご質問が判りませんが。単に和とか差とか取り出すのなら変調とか搬送波とかいう概念を持ってくる必要はありませんが???
もしあなたが今取り組んでいるのが変調のケースであるなら、例えばω1>>ω2ならばω1が変調波の周波数なわけですが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞Sin（ω1 t）Sin（ω2 t）=(1/2){cos(ω1t-ω2t)-cos(ω1t+ω2t)}となりました。

という前回の式で、w1+w2もw1-w2もできておりました。
私も見落としということで、申し訳ないです……（汗

ところで、上記の「トランジスタに二つの周波数を混合する」式なんですが、
周波数を二つ混合すると、包絡線に包まれた上下正弦波を合わせたような恰好のグラフができるかと思います（よね？）。そして、グラフの内部には細かい正弦波が存在するはずかと思います。
包絡線を音声信号と理解できているのですが、上下正弦波を合わせた格好のグラフ内部に存在する細かい正弦波は、二つの周波数のどちらだと判断すればいいのでしょうか？

説明で下手で申し訳ないのですが、
大きくて緩やかな正弦波（搬送波）と細かい正弦波（音声信号）がトランジスタで混ぜ合わされると思うのですが、二つの周波数のどちらが搬送波で、どちらが音声信号かの判断がつかないといった状況です。

上記の式に記した場合、w1+w2、w1-w2のどちらかが音声信号で、どちらかが搬送波なのですよね？

ただ、搬送波がある場合、両側に必ず、上側波帯と下側波帯が存在するかと思うのですが、それは式に反映されていないですよね？
上側波帯と下側波帯は、周波数の積の式には出て来ないのでしょうか？

大変わかりづらい質問となっており、恐縮なんですが、
もしよければ、教えてください。

よろしくお願いします。

お礼日時：2015/01/19 04:59

No.4 回答者： imoriimori 回答日時： 2015/01/17 18:55

非線形というのは、入力に対して出力が直線的でないということです。

入力vinを横軸に、出力voutを縦軸にとると、グラフは直線ではない。増幅率Aは定数では無くvinの関数なわけです。これが非線形と云うこと。
関数A（曲がったグラフ）を級数展開すると、vinの一乗の項（つまり普通の増幅、線形の項）の他に二乗の項とかも出てきます。これが非線形の項。
vin=Sin（ω1 t）＋Sin（ω2 t）なら、この二乗の項は=Sin（ω1 t）^2+ Sin（ω2 t）^2+2 Sin（ω1 t）Sin（ω2 t）.

このSin（ω1 t）Sin（ω2 t）を三角関数の積和の公式で書き直してください。ω1－ω2の周波数の正弦波が出てきますよね。

グラフのひん曲がりが強い部分に非線形項が大きく出てきます。そのひん曲がっている部分を動作点に使うと和差の周波数成分を取り出す能率が良いわけです。ベースとエミッタ間電圧が0.6V付近で入出力特性のひん曲がりが顕著だとしたら、そこを動作点にするわけです。（といっても、非線形項を利用しようがしまいが、トランジスタは一般的にどうせ0.6Vから大きく離れたところに動作点を置くことはできませんが。）

ダイオードでは増幅作用がないので能率は悪いですね。ω1－ω2の周波数の成分はごく小さいので、あらためてトランジスタ等で増幅することになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
級数展開について、まだ習っていないのですが、
グラフの0.6Vのところで、増幅させたり（一乗させる。まっすぐの線。線形）、変換させたり（二乗させる。放物線のような曲線。非線形）できるということでしょうか？

Sin（ω1 t）Sin（ω2 t）について、計算してみました。


Sin（ω1 t）Sin（ω2 t）=(1/2){cos(ω1t-ω2t)-cos(ω1t+ω2t)}となりました。
これだと(ω1-ω2)の式だけだと思うのですが、他の方の回答を見ると、(ω1+ω2)の周波数も得られるとか……。
(ω1＋ω2)はどのように導き出すのでしょうか？

搬送波や上側波帯、下側波帯の式と似ている気がするのですが、二つの周波数をトランジスタで混ぜるという部分では、搬送波等は関係ないのでしょうか？

理解が遅く申し訳ないのですが、もしよければ教えてください。

お礼日時：2015/01/18 04:25

No.3 回答者： fba 回答日時： 2015/01/17 18:40

…ダイオードでもできるけど。

　とりあえずリンク先を見てもらえばある程度解決すると思います。

>トランジスタのベースに、周波数Aと周波数Bをを混合させて入れると、
>A-Bの式が成り立ち、目的の中間周波数が得られると習いました。

　A+Bも作れますけどね。アップコンバージョンとかダウンコンバージョンと言って目的周波数によって使い分ける例もあります。

>２、差が出てくる理由がダイオードにあるのならば、何故、ダイオードを使わないのでしょうか？

　リンク先にもありますが、ダイオードだと増幅作用は期待できないので使えない、使い辛い場合も多々あるという事です。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%B7%E5%90%88% …

この回答へのお礼

ありがとうございます。
搬送波と上側波帯と下側波帯と習った気がしますが、その3つがトランジスタを通して、出来上がるという事でしょうか？

お礼日時：2015/01/18 04:14

No.2 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/01/17 17:03

非線形、すなわち増幅作用をしない。

端的に言うと、スイッチング素子として使っている。
いわゆる「うなり( https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%81%AA … )」によって、その差分の変位が現れる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

このページのhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%81%AA …
「数学的説明」の下の「例」の項目のグラフ二つについて、質問があるのですが……。
上のグラフは合成前で、下のグラフが合成後、ということでしょうか？
搬送波や音声信号を習いましたが、そのグラフだと考えていいのでしょうか？

お礼のコメント欄に質問をして申し訳ないのですが、もしよければ教えてください。

お礼日時：2015/01/18 04:11

No.1 回答者： remokon 回答日時： 2015/01/17 17:00

回路図を見せて下さい。

この回答へのお礼

すいません。
純粋に疑問に感じただけで、回路図はありません。

お礼日時：2015/01/18 04:12