確率統計で使う、平均値0の一様乱数（-0.5～0.5）の和について

平均値0の一様乱数（-0.5～0.5）をどんどん加え合わせます。その値はいくつになるでしょうか。０付近に収束するのだろうと思って、1000万個ぐらい足してみるといたら±数100の範囲で振れ触れています。足した数で割った、平均値は0に近づいてきます。N(0,1^2)の正規単数だとどうなるのでしょうか。このような検討はどういう分野で行っているのでしょうか。ランダム・プロセス論なんかでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/02/05 01:40

大きく「確率論」でいいと思う. あんまり限定してもしょうがないし, 確率論ではわりと基本的な話になると思うんで.

今の場合は 1000万個ともなれば中心極限定理が適用できるので, だいたい正規分布になると思えばいい. つまり平均と標準偏差 (あるいは分散) がわかれば分布の形はほぼ想像できる.

まず -0.5～0.5 の一様乱数では平均 0, 分散 1/12 だから 1000万個の和は
平均 0, 分散 1000万/12
の正規分布と思っていい. で正規分布だと 平均±1σ の中に入る確率が 68% くらいだから
±√(1000万/12) = ±912 くらいの間に入る確率が 68% くらい
ってことになる. なので「±数100の範囲で振れ触れています」ってのは, まあ普通と思っていいんじゃないかな. ちょっと回数をふやせば 1500くらいの値は出そうな気がする.

もとが N(0, 1^2) なら平均 0, 分散 1000万の正規分布になるから ±3000 くらいに収まる確率が 68% くらい.

この回答へのお礼

Tacosan様

ご回答ありがとうございました。中心極限定理はこのように使うのだということを理解いたしました。私は微分方程式の数値解析をやっておりましたが、確率・統計はいわば独学で、基本的なところが欠如しているということを痛感いたしました。
　一様乱数をボックス・ミューラー法で正規乱数に変換して計算したところ、ますます変化が激しくなって、もうダメ！ということでただただ混乱していました。正規乱数のほうが収まりがいいだろうと全くの素人考えをしていました。ご指摘の通り正規乱数の振れ幅は数1000に達し、一様乱数、正規乱数ともことごとくご指摘通りであることを確認しました。
　かねがねTacosanの洒脱な回答には注目いたしておりました。
今後ともよろしくご指導のほどお願い申し上げます。

お礼日時：2015/02/05 12:18