高校数学、図形と方程式

放物線y^2=4px(p>0)の焦点Ｆ（p,0)を通る直線と、放物線との交点をＰ、Ｑとするとき、線分ＰＱが点Ｆで１対２に内分されるようなＰＱの傾きを求めよ。

（私の答案）
Ｐ，Ｑについてそれぞれのｙ座標をα、βとする。
Ｆ（ｐ，０）を通る直線はｘ＝ｐではｙ＾２＝４ｐｘ①とは共有点を２つ持たないから、不適。
よって、ｙ＝ｍ（ｘ－ｐ）②（ｍ≠０）と表せる。
①と②を連立して、整理すると、ｍｙ＾２－４ｐｙ－４ｍｐ＾２＝０③
（ア）α＞βの時、（２/３）α＋（1/3)β＝０より、２α＋β＝０④
ここで、③より、α＝[２ｐ＋２ｐ√（１＋ｍ＾２）]/m,β＝[２ｐー２ｐ√（１＋ｍ＾２）]/m。
④に代入して整理すると、④を満たすｍは存在しないことがわかる。
（イ）α＜βの時、（ア）のα,βを逆にして、計算すると、ｍ＝±２√２答え
（疑問）
答え自体は正しいようですが、
問題集の解答の方針とは異なり、私の答案の場合α>βのときは題意を満たすような直線は存在しないという結論で書かれていますが、それはおかしいと思うし、α<βのときはｍの値が２つというのもおかしいと思います。
私の答案のどこがまずいのでしょうか？
（計算間違い、特に、２次方程式の整理や解法は気を付けて見直したつもりです）

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/03/11 10:36

まず、pを適当な値（p=1でよい)をとって題意に適する絵を描いてみてください。

ｘ軸を対称軸として傾きが絶対値は同じで、正でも負でもよいことがわかりますか。
0<α<p<βとして
傾きが正の場合、P(α,-2√pα),Q(β,2√pβ）
傾きが負の場合、P(α,2√pα),Q(β,-2√pβ）
になることを確認してください。
＞線分ＰＱが点Ｆで１対２に内分されるような
このとき傾きの正負にかかわりなく
(β-p)/(p-α)=2/1 ⇒　2α+β=3p (*)
となります。あなたの④式は間違いです。

P,QがFを通る直線L：y=m(x-p),m≠0上にあることから

1）傾きmが正の場合
2√pβ=m(β-p)
-2√pα=m(α-p)
辺々割り算して整理すると
α√α+β√β＝p(√α+√β) (**)
(*),(**)を連立して
β＝4α, p=2α, m=2√2

2）傾きmが負の場合
-2√pβ=m(β-p)
2√pα=m(α-p)
辺々割り算して整理すると
α√α+β√β＝p(√α+√β) (***)
(*),(***)を連立して
β＝4α, p=2α, m=-2√2

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2015/03/16 13:38

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/11 09:35

放物線y^2=4px(p>0) の形からわかるように、

（ア）α＞βの時：（アー１）（α：β）＝（1：-2）の場合と、（アー２）（α：β）＝（2：-1）の場合とがあります。

（イ）同様に、α＜βの時：（イー１）（α：β）＝（-1：2）の場合と、（イー２）（α：β）＝（-2：1）の場合とがあります。

　見てわかるとおり、（アー１）と（イー２）は同じケース、（アー２）と（イー１）は同じケースです。単に、どちらを「Ｐ点」と呼ぶかだけの違い。

　質問者さんは、（ア）のときに（アー１）のケースだけを仮定し、このとき「ｍ」が負になるにもかかわらず、「[２ｐ＋２ｐ√（１＋ｍ＾２）]/m　の方が大きい」として、これを α としてしまったことが誤りです。
　（イ）のときには、おそらく（イー１）のケースだけを仮定し、このときには「ｍ」が正だったので答が求まったのです。

　放物線も直線も、ｘ軸に対して対称性があるので、初めから「Ｐ点はy座標が正、Q点はy座標が負」として、（アー１）（アー２）の２ケースで求めればよかったのだと思います。
　（アー１）のときｍ＝-2√２、（アー２）のときｍ＝2√２ となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2015/03/16 13:39