ラグランジアンにおける独立変数は変分原理の積分の中では独立ではないのですか？

ラグランジアンで一般座標 qと一般速度 vが独立変数の関数と定義されていますが、
何故変分原理を使ったオイラーラグランジアンの式の導入の時に

0=∫((dL/dq)*dq+(dL/dv)*dv )dt
=∫((dL/dq)*dq-d/dt(dL/dv)*dq )dt
=∫((dL/dq)-d/dt(dL/dv))*dq )dt

とまるで微小変化dqとdvが独立ではなく、結果的にdvがdqで表せるようになってしまいました。
何故qとvは独立なはずなのに、微小変化は独立ではなくなってしまうのでしょうか？
両方とも独立ならば独立に変化するはずではないんでしょうか？

もっと言えば、ハミルトニアンでの一般座標qと一般運動量pは独立変数の関数と定義されていて、
変分原理の積分の中でもdqとdpは独立だと書いてますが、何故同じ量を表した関数（ルジャンﾄﾞﾙ変換しただけ）なのに一方はｎ個の独立　微小変化　があり、もう一方は2n個の独立　微小変化があるのでしょうか？

どなたか分かる方教えていただけると嬉しいです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/05/20 13:44

例えば

2個独立変数をとる関数 fがあって

f(x, y)=0

としても xとyは独立でしょうか？

独立変数というのは特定の関数の「中の」ローカルルールであって
独立であるということは関数の「外」には及びません。
それはまた別の世界の話です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

関数の「中」と「外」と言うのは具体的にどういう意味なのでしょうか？

お礼日時：2015/05/26 02:48

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2015/05/15 00:59

>qとvはラグランジアンという関数の独立変数であるが、

数学的に言えばラグランジアンが(q,vと表記される二つの実数を引数とする)二変数関数だ、という事しか言っていないように思いますのでこの部分は正しいです。

>それとは別に、ｑとｖはdq/dt=vと言う所謂拘束条件より、
>結局ラグランジアンはｑという一個の独立変数の関数と言うことになる
なりません。#1に書いたように指定した時刻における位置座標qを決めただけではその時刻における速度vが決まる訳ではありませんので、ラグランジアンはqのみ(またはvのみ)の一変数関数では表せません。
例えばニュートンの運動方程式を解くときに初期条件として初期位置と初速度を与えます。初期位置を与えるだけで同時に初速度も決まったりはしません。


q,q(t)という記号(v,v(t)も同様)を、(時刻tにおける)位置座標を表す【実数】の意味で用いたり、時刻tに対してその時刻における位置座標を対応させる【関数】の意味で用いたりしている事に注意して下しさい。独立なのは前者、独立ではないのは後者です。


>pはqとvの変数で表せるはずなので、ｑとｐは独立ではないと思います。
I[q]あるいはI[q,p]と表される作用に「運動方程式の解」を代入した時が最少(極小)になるという所から、ラグランジュ方程式あるいは正準方程式が導出されますよね。逆に言うと、変分をした結果であるq+δq(とp+δp)というのは、運動方程式を満たしてはいないのです。#1に「v(t)=dq/dtという関係(中略)を導出するべき運動方程式に含めたものがハミルトン形式」と書きましたが、要はp,q,vの間の関係式を満たさないような変分も含めて考えている、という事を言っています。だからp,q,vの間に何らかの関係式があるという事はp,qの変分を独立に決められない理由にはなりません。


>ハミルトン形式では一旦ｖ＝dq/dtとか言うのを忘れて、と言うのは
>pとqが独立か独立であろうがなかろうが、”独立”に扱っても構わない、という事でしょうか。
そもそも運動方程式の解からp,qを独立に変化させた時に、作用の値がいつも大きくなるようにハミルトニアンを選んでいるんです。そのようなハミルトニアンがいつも存在するかどうかは自明ではないでしょうが、もしも見つかったとすればq,pの変分の値は独立に決めて問題ないわけです(問題ないような場合しか考えてないのですから)。

この回答へのお礼

又回答して頂きありがとうございます。

＞だからp,q,vの間に何らかの関係式があるという事はp,qの変分を独立に決められない理由にはなりません。
確かに何らかの関係があったとしても、独立に決められない理由にはなりませんが、
やはり
dL/dv=p、とした時点で
pはqとvの関数になるはずですから、もしqとvがｔの関数として独立出ない場合、
やはりpもqと独立の関数ではない、と言えるのではないでしょうか。

むしろ、なんのポテンシャルも無い場合、
L=mv^2/2
ですから
dL/dv=p=mv
となり、
もしvがqと独立の関数で無い場合、
p(t)=mv(t)
ですから、p(t)とq(t)は確実に独立ではないはずです。
なので、独立の関数として良いと言うのはやはりまだ納得が行かないです。。

お礼日時：2015/05/26 02:54

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2015/05/13 13:50

簡単のため自由度が１の場合を前提に書きますが、多自由度の場合も話は同じです。

ラグランジアンL(q,v)に含まれるq,vにどのような値を代入しようかと考えた時、例えば位置qにいる場合の速度がv_1である場合を考える事もv_2である場合も考える事ができます。そういう意味でqとvは独立となります。

ラグランジュ方程式はI[q]=∫dtL(q(t),v(t))が任意の変分で停留値を取るという条件から導出されるのですが、この積分を計算するには全ての時刻におけるq(t)の値(数学的に言えばt→q(t)という関数)が必要になります。そして全ての時刻におけるq(t)の値を決めてしまえばqの微分で定義されるv(t)も同時に決まる事になります。だからI[q,v]ではなくI[q]と表されるのだし、q(t)の変分δqとv(t)の変分δvは独立には決められないのです。



大雑把にいえば、v(t)=dq/dtという関係(に対応するもの)をいったん忘れてこの関係も導出するべき運動方程式に含めたものがハミルトン形式です。そういう取り扱いをする事に決める事でq(t)とp(t)(v(t)に対応するもの)の変分を独立に決める事ができるようになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

qとvはラグランジアンという関数の独立変数であるが、
それとは別に、ｑとｖはdq/dt=vと言う所謂拘束条件より、
結局ラグランジアンはｑという一個の独立変数の関数と言うことになる、という事でしょうか？

同じように考えてハミルトン形式では、同じようにｑとｐの独立変数がありますが、
dL/dv=p　のルジャンﾄﾞﾙ変換から必然的にdH/dp=vと言うことが言えますから、
その拘束条件を追加すれば
変分原理により、∫(v-dH/dp)dp-(p+dH/dq)=0
の
v-dH/dpがdp、dqによらず０になる、と言うのは分かります。
つまりdpとdqをどのように変化させても最初の項はゼロになり、全体的の積分が０のため次の項もゼロになる、と言うのは分かります。
しかし、それはdpとdqが独立でもその式は成り立つ、という事であり、独立でなくても式はなりたつ、なのでｄｑとｄｐが本当に独立かは分かりません。
というか、pはqとvの変数で表せるはずなので、ｑとｐは独立ではないと思います。
つまり、
ハミルトン形式では一旦ｖ＝dq/dtとか言うのを忘れて、と言うのは
pとqが独立か独立であろうがなかろうが、”独立”に扱っても構わない、という事でしょうか。
それとも本当に独立なのでしょうか？

お礼日時：2015/05/14 09:04