無限級数 1/1^5-1/3^5+1/5^5・・・ の値について

物理が趣味で、いろいろフーリエ級数で遊んでいたのですが、たまたま以下の無限級数に出くわしました。
1/1^5-1/3^5+1/5^5-1/7^5＋・・・
つまり、分子は全部1、符号は交代、分母は奇数の5乗として加えたものです。なんだかζ関数モドキみたいです。

計算途上、ある等式の中で出現しました。等式でしたので、そこから一応計算できました。
繁雑でしたので合っているかはわかりませんが、（5/1536）＊pi^5 となりました。piは円周率です。

そこで質問です。
１．この値で正しいでしょうか。また、一般的にはどのようにしてこの級数が求められるのでしょうか。
２．今後こういったタイプの無限級数（ζに似ているが、飛び飛びであったり符号が違ったりするもの）に出会ったとき、どうやって値を調べればよいでしょうか？便利な本やサイトはありますか？

以上、宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 一部に関して回答を頂戴済みです。残り、
  
  ＞一般的にはどのようにしてこの級数が求められるのでしょうか。
  
  のところ、教示いただける方いらっしゃれば幸甚です。

    補足日時：2015/07/05 23:50

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/07/05 23:13

そこで質問です。

１．この値で正しいでしょうか。また、一般的にはどのようにしてこの級数が求められるのでしょうか。

正しい。

Σ(n=1,∞)(-1)^(n-1)/(2n-1)^k=1/1^k-1/3^k+1/5^k-1/7^k＋・・・

は複素数kの実部(kが実数ならｋ)>0なら収束する。k=2p+1(奇数)のとき

Σ(n=1,∞)(-1)^(n-1)/(2n-1)^(2p+1)=π^(2p+1)Ep/[2^(2p+2)(2p)!]

Epはオイラー数と呼ばれp=1,2,3,4,5...のとき1,5,61,1385,50521、....

質問はｋ＝2

求め方：特殊な世界らしく近寄らないことにしている。

ついでに

Σ(n=1,∞)1/(2n-1)^(2p)=π^(2p)Ｂp/[2(2p)!]

Ｂpはベルヌーイ数と呼ばれp=1,2,3,4,5...のとき1/6,1/30,1/42,1/30,5/66....



２．今後こういったタイプの無限級数（ζに似ているが、飛び飛びであったり符号が違ったりするもの）に出会ったとき、どうやって値を調べればよいでしょうか？便利な本やサイトはありますか？

上で書いたことは岩波全書「数学公式Ⅱ」の受け売りです。積分は数学公式Ⅰ、級数は数学公式Ⅱ、特殊関数は数学公式Ⅲを使っています。
Ｗｅｂサイトを探したのですがぴったりのに出合いませんでした。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。後ほど一応確認しますが、正解であったことに感激です。一見無関係の問題に取り組んでいたのに、
意外なところで発見があるものですね。
さらに、一般的なケースでも教えていただきありがとうございます。大変勉強になります。
岩波の数学公式は、もっていないので欲しくなってきました。

特殊な世界・・・ということであれば、知ったところで理解できないかもしれませんが、他の回答を待つことにします。

お礼日時：2015/07/05 23:48

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2015/07/06 09:45

級数そのものをいじくるんじゃなく、何らかの関数の何らかの無限級数展開から、いわばタマタマ帰着する、って場合が大抵でしょ（ご質問の場合もこれですよね）。

ただし「何らかの」ってのは、かなり個別の話であり、つまり「タマタマ帰着」できるような、計算可能な関数をカンで当てられたらラッキ。「母関数」って概念がありますが、それで全部行けるという訳ではない。
　「悪魔の発明」と呼ばれた「発散級数論」とおおいに関係があるようです。この分野は（自明のようで、実は結構アイマイな）「無限級数」（総和法）の定義そのものに依存するんで、しばしば無限ってものの底知れないコワさが現れて、ハテ厳密な証明になってるんだかどうだか、それすらよくわかんない。「うんと大きい有限」と「無限」の違いとして、フーリエ級数では「ギブスの現象」が有名ですね。難しい定積分の計算や超関数論とも関係がある、ってことです。
　とまれ、すっきりした一般論で片づく話ではないようで、敬して遠ざけるのも数学を道具として使う立場では賢明だと思う。

この回答へのお礼

ありがとうございます。一筋縄ではいかない内容なのですね。
ギブス現象という名前は知りませんでしたが、グラフソフトで足し算していくと、跳躍が見られることは
経験上存じております。
私も数学はあくまで道具として使う立場ですので、これにて落着と致します。

お礼日時：2015/07/06 12:32