電磁気学

導電率をσとしたとき、写真の抵抗の抵抗値がI(1/a-1/b)/πσとなることを証明する方法を教えて下さい。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/23 10:35

別に証明する必要はなくて、普通に抵抗値を求めればよいだけです。

　「導電率」というのは、「電気抵抗率」の逆数で、「電気の通りやすさ」です。
　最終的に求めるのが抵抗値なので、この「導電値」の逆数をとった「電気抵抗率」で計算しましょう。

　「導電率：σ」というのは、「単位断面積、単位長さあたりの電気の通りやすさ」です。単位は「A/(V*m)＝アンペア／（ボルト*メートル）」、または「1/(Ω*m)＝ 1/（オーム*メートル）」。

　この逆数 ρ = 1/σ が「電気抵抗率」です。「単位断面積、単位長さあたりの抵抗値」で、単位は「Ω*m＝オーム*メートル」です。

　実際の「抵抗値」は、抵抗の長さに比例し、断面積に反比例します。
　つまり、断面積：S（一定）(m^2)、長さ：L (m) の「円筒」（直方体でもよい）の抵抗値：Ｒは、

　　　R = ρ * L / S (Ω)　　　（１）

となります。

　ご質問の場合には、この「断面積：S(m^2)」が一定ではなく、変化しています。
　電源の「正」側（半径が a の側）から距離 x （ 0 ≦ x ≦ L）の位置の半径 r は、

　　　r = a + x * ( b - a ) / L

となり、その x での断面積は、

　　S(x) = パイ * r^2
　　　　= パイ * [ a + x * ( b - a ) / L ]^2

従って、この x における、長さ Δx の抵抗値 ΔＲ は、（１）式から

　　 ΔＲ = ρ * Δx / S(x)
　　　　= ρ * Δx / { パイ * [ a + x * ( b - a ) / L ]^2 } 　　　（２）

全体の抵抗 R は、（２）式を x = 0 ～ L で積分すればよいのです。

　これを積分して、ρ → 1/σ に戻すと、あれっ？

　　R = ρ * L / (パイ * a * b )
　　　= L / (パイ * σ * a * b )

になりましたが？