2次元のGaussの発散定理「ndl=dyi-dxjであることを示せ」

2次元のGaussの発散定理∬s ∇・Fds=∬c F・ndl
nはCに沿う外向き単位法線ベクトルを表します．

このときに「ndl=dyi-dxjであることを示せ」という問題なのですが、
何から始めてよいのか分からなく困っています．
どなたか解答例をお願いします．

※i,jはx,y軸方向の単位ベクトルです．

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/08/06 15:18

>「ndl=dyi-dxjであることを示せ」

n が線積分の積分路の法線ベクトルなら ndl=dyi-dxj か ndl=-dyi+dxj の
どちらかになるのは明らかでしょう。

どちらになるかは条件が足りないので解けないです。

しかし S を2重の意味で使っているとか、 l の説明がないとか、
二重積分記号の使い方が不自然とか、積分の方向が示されていないとか、
ちょっとイラッとしますね。

No.5 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/05 09:27

siegmund です．

stomachman さん：
>> ∬c F・ndl
>
>　この二重積分の記号は間違いですよね？

おっしゃるとおりですね．
見落としていました．
学生にはいつも「試験問題よく読め」と言っているのに(^^;)．

stomachman さん，またご一緒できてうれしいです．
コイン問題の頃からもう15年近く経つのか．

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/05 00:55

ANo.1へのコメントについてです。

> そこの部分の解答をもらうとは質問が悪かったみたいです

いいえ、そうじゃありません。

> ∬c F・ndl

　この二重積分の記号は間違いですよね？ "dl"の意味が分かっていれば、こんな間違いはしないはずであり、そして、こんなチョーキホンの問題に躓いたりもしないはず。
　だから、まず記号の意味を理解しろ、って話になるんです。

（どうもsiegmund先生、ご無沙汰でした。）

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/05 00:23

siegmund です．

区別のため，スカラーを dl，ベクトルを (→dl) などと書くことにします．

もとの問題で
ndl=dyi-dxj
とあるのは
(→n) dl = dy(→i) - dx(→j)
の意味です．
左辺は (→n)・(→dl) ではありません，念のため．
また，いうまでもなく
(→dl) = dx(→i) + dy(→j)
です．

> 内積がゼロで、全項ゼロということですよね...？

全項ゼロの意味が不明ですが，
内積ゼロというなら
(→dl)・(→n) = 0
です(両者は直交)．

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/04 11:26

物理学者の siegmund と申します．

図を描けば一目瞭然．
適当な曲線 C を描いて，
C 上に P(x,y) と Q(x+dx，y+dy) を取り，
ベクトル dl と ベクトル n を書き込んでみれば明らか．
ベクトル dl は接線ベクトルだから，
ベクトル dl と ベクトル n が直交するのはもちろん大丈夫ですよね．

この回答へのお礼

内積がゼロで、全項ゼロということですよね...？

右辺にマイナスがあるため全項ゼロ以外で
解くのかと疑ってしまってました.

返答ありがとうございます！

お礼日時：2015/08/04 12:48

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/04 03:24

> 何から始めてよいのか

全ての記号と文字の意味を理解する所から始めるんです。

この回答へのお礼

そうですよね！
そこの部分の解答をもらうとは質問が悪かったみたいです

お礼日時：2015/08/04 08:51