ベッセル関数の超幾何関数表示について

ガウスの超幾何関数は
F(α,β;γ;z)=[Γ(γ)/Γ(α)Γ(β)]Σ(n;0→∞)[Γ(α+n)Γ(β+n)/Γ(γ+n)]z^n/n!
で与えられ、その微分方程式は
z(1-z)u''+[γ-(α+β+1)z]u'-αβu=0
です。
同様に合流型超幾何関数は
F(α;γ;z)=[Γ(γ)/Γ(α)]Σ(n;0→∞)[Γ(α+n)/Γ(γ+n)]z^n/n!
で与えられ、その微分方程式は
zu''+[γ-z]u'-αu=0
です。
一方、Bessel関数は
Jν(z)=[(z/2)^ν/Γ(ν+1)]F(ν+1:-z^2/4)
で与えられ、その微分方程式は
z^2u''+zu'+(z^2-ν^2]u=0
です。

つまりBessel関数は合流型の一つと言われますが超幾何関数的には0F1(γ;z)(Pochhammer表示)であらわされ、この式に対応する微分方程式を探しています。それは当然
z^2u''+zu'+(z^2-ν^2]u=0
に一致するはずですがどの本を見ても0F1(γ;z)がありません。

何か根本的に考え違いをしているのかと危惧しています。よろしくご指導のほど。お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/23 22:53

物理学者の siegmund と申します．

spring135 さんのご回答はよく拝見しています．

岩波数学公式集などで確認しましたが，
spring135 さんの書かれているとおりですね．
ベッセル関数は合流型超幾何関数 1F1 (本当は２つの"1"は下付ですが)でも表されるし
0F1 でも表される．

で，ご質問は 0F1 の微分方程式ですが，
岩波公式集その他を見ても確かに載っていません．

でも，
0F1(γ;z) = Γ(γ) Σ(n;0→∞)[1/Γ(γ+n)]z^n/n!
で，パラメーターがγ１つしかありませんから，
d^2{0F1(γ;z)}/dz^2 や d{0F1(γ;z)}/dz を作って，
z^n の係数が恒等的に消えるように少しいじってみると(try and error です)，
(1)　　zw'' + γw' - w = 0
が 0F1(γ;z) の満たす微分方程式になっているのがわかります．
わかってしまえば 0F1(γ;z) が(1)を満たすのを示すのは簡単です．

なお，ベッセル関数は spring135 さんが書かれているように
Jν(z)=[(z/2)^ν/Γ(ν+1)] 0F1(ν+1:-z^2/4)
で，0F1 の引数が -z^2/4 になっている上に，前に因子がついていますから，
0F1(γ;z) の満たす微分方程式(1)はベッセルの微分方程式そのものにはなりません．

この回答へのお礼

siegmund様

早速のご回答ありがとうございました。
zw'' + γw' - w = 0　　　　（1）
には感服です。
現在いろんな関数について級数解、差分法、ルンゲ・クッタ法による数値解、積分表示式による計算結果等を描画しながら比較検討しています。
級数解 0F1(γ;z)=[Γ(γ)]Σ(n;0→∞)[1/Γ(γ+n)]z^n/n!、および（1）に対して差分法、ルンゲ・クッタ法を適用した数値解は完全に一致しました。よって 0F1(γ;z)に対応する微分方程式は(1)であると確信いたしました。積分表示式による計算はいろんな関数についてうまくいく場合とまるでダメな場合があり、積分経路を考慮する必要があるようで中断しています。 0F1(γ;z)に対する∫表示式も本にはないようですが、微分方程式に対するsiegmundさんのご示唆に沿って、検討したい気持ちになってまいりました。
　大変ありがとうございました。今後ともご指導のほどよろしくお願いいたします。

お礼日時：2015/08/24 02:28