【数学】多重根号の問題です。√(2+√(2+√(2+...の値は何か。

数学の質問です。
問「√(2+√(2+√(2+... の値はなにか？」が分かりません。与式は根号の中に根号が無限に続きます(多重根号)。
解くだけでは与式をxとおいてx=√(2+x)の解を考えれば良いです。しかしこれは与式が発散しないことを前提に解いていると思われます。
従って与式が発散しないことの証明or他の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/26 20:31

ANo.4へのコメントについてです。

まず訂正。

　　黄金比じゃなくて、x=2ですよね。毎度のことながらチョンボしました。たはは(^^;

　さて、そもそも √(2+√(2+√(2+... という表現が何を意味するかという話について。

(1)「"√(2+●)"の●んところにそれ自身がイレコになって入ってる式」と考えたのでは、その式は無限に長い文字列になっちゃうので意味をなさない。つまり、√(2+√(2+√(2+...ってのは、式にあらざるもの。では、式でないのなら何なのか。

(2) 「漸化式
　　x[n] = √(2+x[n-1]）
で表される数列のn→∞の極限」だと考えれば、ご質問にあるように、収束するかどうかが心配になる。いやいや、その前に、漸化式にするためにはx[0]を与えなくちゃいけない。x[0]なんか何でも良いのだとは言えないのは、試しにx[0]=-3を考えればわかる。だけど √(2+√(2+√(2+... のどこにx[0]について書かれているのか。この解釈も無理でしょ。

(3)「ソレは、√(2+x)という写像によって変化しない（だから何度写像をとっても変化しない）」という意味だ、という解釈なら成立します。つまり「写像
　　f(x) = √(2+x)
の不動点」ということです。fは連続な縮小写像ですから、不動点があるのは保証付き。で、その不動点xは、式にすれば、まさしくご質問にある通り、方程式

> x = √(2+x)

で表現できる。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。
写像の考えには至らなかったです。確かに連続な縮小写像というのは自明ですね。

お礼日時：2015/08/26 21:16

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/25 14:24

証明にこだわるまでもなく、お書きの方程式の左辺と右辺をそれぞれxの関数だと思って、y = xとy = √(2+x)のグラフを描いてみれば、解があることは自明でしょ。

その解には「黄金比」という名前があります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。まず無限に続く与式をxと置くことに抵抗を感じました。
グラフは考えてみましたが、数学の証明になっているのかが微妙でしたので…。
あと黄金比は√(1+√(1+... ではないでしょうか。

お礼日時：2015/08/26 18:19

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/08/25 01:05

＞与式が発散しないことの証明

上に有界な単調増加数列は収束する、ってやつを使うのが一番簡単でしょう。
x=√(2+x) の解x=2 に対して、
√(2+√(2+√(2+... < 2
であることを、帰納法で証明すればよいです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。納得しました。上に有界な単調増加数列は収束する を用いることは目からウロコでした。

お礼日時：2015/08/26 18:15

No.2 回答者： k_jinen 回答日時： 2015/08/25 00:01

f(n+1) = √(2+f(n))

f(0) = 0
とすると漸化式は、n≧0で
f(n+1)*f(n+1) = 2 + f(n)
となる。

両辺をf(n+1)で除すると
f(n+1) = 2/f(n+1) + f(n)/f(n+1)
⇔
f(n+1)/f(n) = 1/(f(n+1) - 2/f(n+1))
ここで、n->∞のとき、f(n)->∞（発散）すると仮定すれば
1/(f(n+1) - 2/f(n+1)) -> 1/(∞ - 2/∞) -> 0
したがって
f(n+1)/f(n) -> 0 --- (1)
ところで
f(n+1)/f(n) = √(2+f(n)) / f(n)
= √(2/(f(n)*f(n)) + 1)
なので
n->∞のとき、f(n)->∞（発散）すると仮定すれば
f(n+1)/f(n) -> = √(2/(∞*∞) + 1) -> 1 --- (2)

(1)と(2)は矛盾し、仮定は否定される。

という手順でいいのでは？

数十年前に習ったことを思い返しながらの思索なので、もっと直接的な解法があるかもしれません。

この回答へのお礼

pc上で数式を打つのはとても煩わしいのに、丁寧に解説ありがとうございます。
紙の上で数式を追ってみましたが、仮定法の最後 f(n+1)/f(n) = √(2/(f(n)*f(n)) + 1) というのは f(n+1)/f(n) = √(2/(f(n)*f(n) + (1/f(n))) ではないでしょうか？
私もうまく背理法で解ければいいと思っているのですが...

お礼日時：2015/08/26 16:53

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/24 23:54

その値がいくつかという問題を考える以前に

それが何を表すのか
は考えないんでしょうか?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。考えましたが、分からなかったので質問させて頂きました。
例えば求める値は漸化式 X(n+1)=√(2+X(n)), X(1)=2 の極限などです。

お礼日時：2015/08/26 16:36