f=1-1+1-1+1-......
と、置きます。
そして、変形して、

f=(1-1)+(1-1)+(1-1)+......
g=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-......

これより、
f=0、g=1。
もちろん、f=g だから、辺々加えて、

2f=1

ゆえに、

f=1-1+1-1+1-......=1/2???。

この計算のどこが間違えているのでしょうか?

A 回答 (4件)

通常の無限級数 1-1+1-1+...は1と0で振動します。


しかし、オイラーが1/2になると示唆したため、若き数学者アーベルは頭を悩ましました。
そして、非常にゆっくり減衰するというアイデア、アーベル総和法を思いつきました。
非常にゆっくりと減衰していく特別な無限級数"1-1+1-1+..."は1/2に収束します。

下記ページが参考になると思います。
・なぜゼータ関数 ζ (-1) = “1+2+3+4+...” は無限大に発散しないのか?
 http://www.geocities.jp/x_seek/Euler.htm

よろしくお願いします。
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> 1-1+1-1+1-.....



 「発散級数論」という分野で扱われる、発散級数の典型例です。カッコの付け方(計算の順番)によって答が変わっちゃう、というのは発散級数に見られる特徴。

 まずは、一般に無限級数を考えましょう。無限個の足し算をやれというんですから、小学校で習った通りに順番にひとつずつ計算していたら決して終わらない。つまり、無限級数は素朴な意味では式とは言えないヘンな代物なんです。
 無限級数(という、式ではないもの)が何かの数値を表すという前提があって、初めて無限級数の計算を考えることができる。そして、(たとえばそれが等比級数なら)「それが表すはずの何かの数値」というものが持つべき性質を上手に利用することで、有限の計算で済ませてしまう、という仕掛け。

 発散級数論では、「無限級数(という、式ではないもの)は一体何を表すのか」言い換えれば「そもそも無限列の総和を計算するとはどういうことか」ってところを問い直すんです。そして、その答として「総和法」という概念を導入する。
 すなわち、総和法とは「無限列の総和を計算するということ」の意味を定めるもの。ただし、有限列の総和はもちろんのこと、「普通に和が計算できる無限級数」についても、総和法による答は「普通」の答と一致するのでなくてはならない。
 すると、実は様々な総和法が可能である。その中には、発散級数の(全部とは言わないが)あるクラスについて、答を出すことができる総和法も存在する。また、ある級数について答が出せる総和法同士であれば、双方による答は一致する。

 まず「普通に和が計算できる無限級数」(たとえば等比級数)ってのを総和法の発想で見直すとどうなるか、考えてみましょ。
  S = a[1]+a[2]+…
を計算するの、どうやっているでしょうか。
  S(n) = a[1]+a[2]+…+a[n]
という「部分和S(n)」を考えた上で、n→∞の極限としてSを計算しているじゃありませんか。
 つまり「Sとはn→∞におけるS(n)の極限だ」と(暗黙のうちにですが)定義しているんです。だからこれも総和法のひとつである。
 しかし、別の総和法でも計算できる。たとえば、上記の無限級数Sを、部分和
  S(k,n) = a[1] e^(-k) + a[2] e^(-2k) + …+a[n] e^(-nk)
におけるn→∞, k→0の極限を表すもの、として定義する。
 この総和法だと、ご質問の無限級数でも答が出ます(それはご質問に書いてある答と同じになるんですが)。

 発散級数論は「悪魔の発明」とも言われた、なかなかヤバい分野。専門の本も出てますから、ガッツリ勉強なさると面白いでしょう。無限という概念について「分かっているつもり」の所が突き崩される経験をなさるかも知れません。
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えーとですね,これよくあるんです.



まず,普通の足し算とかのいわゆる「四則」ってのは
計算の対象が有限個のときだけしか定義されてないんです.

したがって,最初の
>f=1-1+1-1+1-......
そのものが,そもそも定義されているのか?
というところからスタートです.

足し算を「無限個」するというのは,ふつうは
以下のように定めます.
a1+a2+a3+・・・
とは
a1, a1+a2, a1+a2+a3,・・・
のように,一つずつ足していくことによってできる数の列が
最終的に近づく「一つだけ値」のことをいう.
このような一つだけの値がある場合に
「a1+a2+a3+・・・は収束する」という
このような値が存在しない場合,
「a1+a2+a3+・・・は発散する」という.

この定義にしたがうと
問題のfは
1
1-1=0
1-1+1=1
1-1+1-1=0
というように,0,1,0,1・・・という
0と1が交互に出てくる列の「近づく先」ということになりますが,
そんな値は存在しません.
したがって,「普通の数学」の世界では
そもそもfは存在しない,値を持っていない,
よって「計算できない」というわけです.

計算できないものから1を引いたり,()をつけてみたりしても
そもそも,存在しないものを相手にしているので
何がおきても保証外です

この定義の範疇においては
a1+a2+a3+・・・
というのは,実質
(((a1+a2)+a3)+a4)+・・・・
という頭から順番に足すという作業をしているわけですが,
じつは,これが収束する場合でも
順番をかえると違う値になるものがあったりします.
つまり
a1+a2+a3+・・・

(((a1+a2)+a3)+a4)+・・・・
と計算するか,または,例えば
a1+(a2+a3)+a4+(a5+a6+a7)+・・・
のように計算するかで行き先がかわるケースも存在します.
順番を変えても値が変わらないようなものは「絶対収束」
(絶対収束の定義はほんとうはこうじゃないけど,まあ
厳密さにはこだわらないということで),
そうではないものは「条件収束」といい,
驚くべきことに,条件収束の場合は
計算の仕方をかえると,任意の値に収束させることが
できることが知られています(リーマンの級数定理).
したがって,カッコをつけて順番を変えることは
無限個の足し算に対しては無条件には認められません.

ということで,「足し算を無限に行う」というのは
・「無限個の足し算」の意味を明確にする
・その明確にした範囲で何が許容されるのかを考慮する
ということが必要で,くわえて
現代数学で一般に定義されている「無限個の足し算」においては
カッコを付け替えたりすることに相当する操作は
無条件には認められないわけです.

なお当然のことならが
「現代数学で一般に定義されている無限個の足し算」以外の
別の「論理的に正しい定義」を打ち立てて
それに基づいて理論を構築することはまったく自由で
実際,それに近いような近くないような
ちょっと「えっ?」と思うようなものは存在します
#繰り込みとかで
#1+1+1+・・・=-1/2 なんて表記がたまーに話題になる
#この手の考え方をつかうと実は質問の
#1-1+1-1+1-1 ・・・ = 1/2 ってのは「ある意味」では正当化される
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冗談でしょうが、



f=1-1+1-1+1-......
と、置きます。

g=(1-1)+(1-1)+(1-1)+......
h=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-......

とおけば、g=0、h=1となるが、
fの計算にはなっていない。

間違いは、
そして、変形して、
f=(1-1)+(1-1)+(1-1)+......
とおいた部分。
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