解答教えてください

二項定理の加法公式が成り立つことを、二項定理の展開式を利用して示せ。
nCi=nC(n-1)+(n-1)C(i-1)

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/18 01:50

(1+x)^n

=nＣ0+nＣ1x+nＣ2x^2+ ･････ +nＣix^i+ ･････ +nＣnx^n　･････ ①

(1+x)(1+x)^(n-1)
=(1+x)((n-1)Ｃ0+(n-1)Ｃ1x+(n-1)Ｃ2x^2+ ･････ +(n-1)Ｃ(i-1)x^(i-1)+(n-1)Ｃix^i+ ･････ +(n-1)Ｃ(n-1)x^(n-1))
=(n-1)Ｃ0+(n-1)Ｃ1x+(n-1)Ｃ2x^2+ ･････ +(n-1)Ｃ(i-1)x^(i-1)+(n-1)Ｃix^i+ ･････ +(n-1)Ｃ(n-1)x^(n-1)
　　　　　　+(n-1)Ｃ0x+(n-1)Ｃ1x^2+(n-1)Ｃ2x^3+ ･････ +(n-1)Ｃ(i-1)x^i+(n-1)Ｃix^(i+1)+ ･････ +(n-1)Ｃ(n-1)x^n
=(n-1)Ｃ0+{(n-1)Ｃ1+(n-1)Ｃ0}x+{(n-1)Ｃ2+(n-1)Ｃ1}x^2+ ･････ +{(n-1)Ｃi+(n-1)Ｃ(i-1)}x^i+ ･････ +(n-1)Ｃ(n-1)x^n　･････ ②

ここで、① の x^i の項は、
nＣix^i
② の x^i の項は、
{(n-1)Ｃi+(n-1)Ｃ(i-1)}x^i

(1+x)^n=(1+x)(1+x)^(n-1)　だから、
nＣix^i={(n-1)Ｃi+(n-1)Ｃ(i-1)}x^i

したがって、
nＣi=(n-1)Ｃi+(n-1)Ｃ(i-1)

となります。

この回答へのお礼

わかりやすい解答で助かりました！
ありがとうございました！！

お礼日時：2015/09/25 01:22

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/09/18 09:29

そうか、nCiの詳細に立ち入らずに定義だけで解けということですね。

2項係数の定義から

(x+y)^n=Σ[ｋ＝１～ｎ]nCk・x^k・y^(n-k) (あ)

(x+y)^(n-1)=Σ[ｋ＝１～ｎ-1](n-1)Ck・x^k・y^(n-1-k)

(x+y)^(n-1)x=Σ[ｋ＝１～ｎ-1](n-1)Ck・x^(k+1)・y^(n-1-k) (い)
(x+y)^(n-1)y=Σ[ｋ＝１～ｎ-1](n-1)Ck・x^k・y^(n-k) (う)

(あ)=(い)+(う) なので、xの次数がi、yの次数が(n-i)の項を比べると

i>0、n>0 ならば nCi=(n-1)C(i-1)+(n-1)Ci

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2015/09/25 01:21

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/09/17 21:41

>nCi=nC(n-1)+(n-1)C(i-1)

これは間違いでしょう。加法公式は

nCi=(n-1)C(i-1) + (n-1)Ci

のはず。

右辺は (n-1)!/{(i-1)!(n-i)!} + (n-1)!/{i!(n-i-1)!}
=(n-1)! x i/{i!(n-i)!} + (n-1)! x (n-i)/{(n-i)!i!} = n!/{(n-i)!i!}=nCi