ベクトルの大きさの最小値

ベクトルの大きさの最小値とその時のtの値を求める問題なのですが、ベクトルの大きさの二乗の時のtの値と最小値はわかります。
ですが、その二乗をなくした時の答えがいまいちよく分かりません。

どうして最小値はルートがつくのに、tの値はそのままなんですか？

質問者からの補足コメント

• ベクトルpの大きさの二乗が9なのであってtの値は変わらないということですか？
  それとも二乗を外す際にルート(t-1/2)^2となってルートをのけると(t-1/2)となるということですか？
  物分りがよくなくて申し訳ないです(T T)

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/09/20 11:26

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/20 11:43

→p=→OP　とおくと、点Ｐは、直線ＡＢ上の点になり、

│→ｐ│＝│→ＯＰ│　は、２点Ｏ，Ｐ間の距離を表すから、
│→ｐ│≧０　（←　距離が　『　－　』　になることはない）
になります。

このことを使うと、質問にある解答になるわけですが・・・。


│→ｐ│^2=20(t-(1/2))^2+9

この式から、　│→ｐ│^2　の最小値は　９　です。　(いま、ｔ＝１/２　は考えないでください)

次に、
ａ＞０、ｂ＞０　のとき
ａ＜ｂ　⇔　ａ^2＜ｂ^2　・・・・・　☆
であることを使って、

│→ｐ│^2　の最小値は　９　だから、
９≦│→ｐ│^2
が成り立ちます。つまり、
３^2≦│→ｐ│^2
が成り立ちます。

ここで、
３>０、│→ｐ│≧０　だから、上の　☆印　より
３≦│→ｐ│
になります。

これから、│→ｐ│の最小値が　３　になります。

『　＝　』　は、ついても　☆　は成り立ちます。
ｙ＝ｘ^2　のグラフの　ｘ≧０　の部分で確かめられます。


では、最小値が　３　になるときの　ｔの値　ですが、

『　最小値が　３　になるとき　』
だから、
│→ｐ│＝３
です。
両辺を　２乗　して、
│→ｐ│^2＝９
になります。
この、
│→ｐ│^2＝９
になるときの　ｔの値　が、まさしく、
ｔ＝１/２
です。

ということで、

『　最小値はルートがつくのに、tの値はそのまま　』

になります。

この回答へのお礼

│→ｐ│の最小値が３になり│→ｐ│^2の最小値が9になる、この二つが起きるときのtの値が1/2というときですね！！！
│→ｐ│^2=20t^-20t+14にそのまま代入して計算するものだと思っていました。
なるほど、わかりました
噛み砕いて説明してくださってありがとうございました _(- -)_

お礼日時：2015/09/20 12:35

No.3 回答者： lupan344 回答日時： 2015/09/20 12:07

ベクトルpの大きさの2乗が最小値を取る時には、（t-1/2）＝0です。

したがって、ベクトルpの2乗の値にtは入りません。
ですから、tの平方根を取る必要はないです。
t=1/2となれば、(t-1/2)＝0ですから、tの平方根を取っても意味は無いですよ。

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2015/09/20 11:01

ベクトルｐの大きさの二乗の式に入っている（t-1/2）^2で判断していますから、tの最小値は、t＝1/2となります。

ベクトルpの大きさは0以上ですから、二乗が最小になれば、ベクトルpの大きさも最小となります。
ベクトルpの大きさの二乗が9ですから、ベクトルpの大きさは√9＝3となります。