位置エネルギーとエネルギー保存則について

Question

今、床に落ちているボールを拾って棚の一番上に置きました。
ボールの位置エネルギーは増えたはずです。
このボールの位置エネルギーは私の腕の筋肉のエネルギーが変換されたものであり
それはまた昨日食べた牛肉から変換されたものであり・・・と、
それはいいのですが、今度は逆に棚の上から床にボールを移しました。
私の腕のエネルギーも使いましたが、ボールの位置エネルギーも減少しました。
このエネルギーはどこに変換されたのでしょうか？

はじめて投稿させてもらいます。
自然科学が好きでよく本を読みますが疑問がでても
質問する相手がいなくて困っていました。
低レベルで恥ずかしいのですが・・・。
よろしくお願いいたします。

ryumu · Accepted Answer

楽しそうなので、混ぜさせてもらいます。せっかくだからニュートンの運動方程式を立ててしまいましょう。空気抵抗等は無視しましょう。重力は、垂直方向にしか効かないので、垂直方向だけに運動方程式を立てましょう。鉛直上向きを正として座標をとり（床をｘ＝０）、位置をｘ、速度をｖ（＝ｄｘ/ｄｔ＜０）、ボールの質量をｍ、重力加速度をｇ、ボールを支えている力をｆ（＞０）、時間をｔと置くと、　　ｍ（ｄｖ／ｄｔ）＝　-ｍｇ　＋　ｆ　　　・・・（＊）となりますね。（＊）式をエネルギー表現するには、（＊）の両辺にｖをかけて、　　　　ｍｖ（ｄｖ／ｄｔ）＝　-ｍｇｖ　＋　ｆｖ　<->　　ｄ（（１/２）ｍｖ＾２）/ｄｔ＝　-ｄ（ｍｇｘ）/ｄｔ　＋　ｆｖ　<->　　ｄ［（１/２）ｍｖ＾２　＋　ｍｇｘ］/ｄｔ　-　ｆｖ＝０そして、時間で積分するのでした。　　　　　（１/２）ｍｖ＾２　＋　ｍｇｘ　-　∫ｆｖｄｔ＝　＜一定＞ここで、（１/２）ｍｖ＾２　は運動エネルギー（Ｋとします）、ｍｇｘは位置エネルギー（Ｕとします）、∫ｆｖｄｔ　は支えた腕のした仕事（Ｗとします）です。書き直すと、　　　　Ｋ＋Ｕ-Ｗ＝＜一定＞となり、時間ｔによらず、エネルギーが一定であることを示す、エネルギー保存則が得られます。この保存則は、（＊）式が成り立つ条件下（すなわち床や棚との接触がない移動の時間）で成り立ちます。ｔ＝０の時、これはちょうど高さｈの棚の上のボールをつかんだ時（ボールは手以外に接触はないとします）になりますが、そのときはｖ＝０なので、　　＜一定＞＝Ｕ（ｘ＝ｈ）＝ｍｇｈとなります。で、ボールを床（ｘ＝０）のところに持っていったとき、　　　　　　　ｍｇｈ＝Ｋ－Ｗ　　　・・・（＊＊）となりますね。すなわち、始めの位置エネルギーは、運動エネルギーと腕の成した仕事（ただしｆは上向き（正）でｖは下向き（負）なので、Ｗは負となります。すなわち腕は、仕事をされた＝エネルギーを与えられたことになります）に変換されます。ですから、ボールを下ろした時に腕は位置エネルギーの一部あるいは全部を吸収する事になるのですが、そのエネルギーの吸収による腕の運動エネルギーが変化していない（なぜなら腕とボールは一緒に動いているから）ので、腕に取ってはkajuramさんがおっしゃるように負荷となります。で、その負荷はjoshua01さんの説明の通り、熱になります。ちなみに（＊＊）より、Ｋが存在する場合、腕にかかる負荷は小さいことになりますね。

ryumu · Answer

おおっと！！凄い盛り上がりですね～＾＾；
こういうのは楽しいですね（⌒▽⌒）

で、補足に対する回答は、hero1000さんが回答なさってるとおりです。
つまり、腕とボールは全く一緒に動いているはず（両者の速度が同じ）なので、ボールから受けたエネルギーが腕の運動エネルギーに変換されていない、ということです。

あと、loifさんに、ちょっとコメントを・・
エネルギー保存則は、ニュートンの運動方程式から導くことができます。
簡単なために、自由落下を想定し、やはり上向きを正とすると、

　　ｍ（ｄｖ／ｄｔ）＝　-ｍｇ

となり、速度ｖを両辺にかけて時間ｔで積分、あるいはそのまま変位ｘで積分すると（ｖｄｔ＝（ｄｘ／ｄｔ）ｄｔ＝ｄｘですから、結局同じことなのですが・・・）、

　　（１／２）ｍｖ＾２＝-ｍｇｘ　＋　＜積分定数＞

従って、

　　（１／２）ｍｖ＾２+ ｍｇｘ　＝　＜積分定数＞

となり、運動エネルギー（（１／２）ｍｖ＾２）と位置エネルギー（ｍｇｘ）の「和」が”時間によらず”一定、というエネルギー保存則が現れます。
loirさんのおっしゃってる「位置エネルギー＝運動エネルギー」というのは、
ｔ＝０のとき、ｖ＝０、あるいはｘ＝０という条件が成り立つときだけで、
ｔ＝０のときにｖもｘも値が存在してもいいのです。
ようは時間によらず、総和が一定であるということが大事なのです。

蛇足ですが、似たようなことは運動量保存の法則にも現れます。

質量ｍとＭの２つの物体（ただし大きさはないとしておきましょう）が、互いに引力なり、なにかで相互作用をしており、”外部から他の力が加わっていない”とき（この条件大事です＾＾）、各物体の速度を、それぞれｖ、Ｖとし、相互作用の力をｆとすると（すべてベクトル量と考えて下さい）、
この２つの物体の運動方程式は、

　　ｍｄｖ／ｄｔ＝ｆ　　　・・・（１）
　　ＭｄＶ／ｄｔ＝－ｆ　　・・・（２）

（１）＋（２）をすると、

　ｍｄｖ／ｄｔ ＋ ＭｄＶ／ｄｔ　＝０

　<->　ｄ［ｍｖ ＋ ＭＶ］/ｄｔ＝０

となり、２物体の運動量の和（ｍｖ ＋ ＭＶ）は、”時間によらず一定”という、運動量保存の法則が現れます。

このように、運動方程式から、保存則が割と簡単に（ちょっと微積が出来ないと厳しいですが・・）導けますし、保存則が成り立たない条件も、運動方程式を見れば分かることになります。
たとえば、上の（１）と（２）式のどちらか一方に、外力が加わっていると、
（１）＋（２）の和が、０にならないため、運動量が保存されません。
一方、運動している時間に運動方程式自体に変更がない限り、（どのような形であれ）その系のエネルギーは保存されることになります。

loir · Answer

失礼しました。問題を見間違えてしまいました。
+と-を考えたらどーでしょー。
結局役に立ってねぇー。笑

loir · Answer

エネルギー保存則は私の理解では位置エネルギー＝運動エネルギーと解釈しています。この場合、空気の抵抗を無視すれば、ある高さからボールを落とせばその距離によって重力により速度がうまれます。地面に衝突するまでにかかる時間から、衝突時点の速度がでます。高さが高い程衝突までの時間は長くなるので、v=gtよりvは大きくなります。またその時の運動エネルギーは1/2×m（質量）×v（速度）×v（速度）になるのでこれが位置エネルギーと一致するのではないでしょうか？

hero1000 · Answer

またまたお騒がせします。

＞とすると、力学的エネルギー保存則に腕の運動エネルギーを 
＞考慮に入れてはいけない、という事からして、 
＞ボールから失われた位置エネルギーは腕に与えられ、腕の運動とは別に 
＞負荷として腕の筋肉にかかり、その負荷の為に筋肉が熱として発散させた、 
＞という解釈でいいのでしょうか？

　ryumuさんの解かれた方程式によるとそうなります。

　私、登場回数の割に役に立ってないですね・・・（汗）

hero1000 · Answer

たびたびすみません。
今度は力学的エネルギー保存則ではなく、総合的なエネルギーについてです。
・・・と思ったらryumuさんがすばらしい回答をなさってますね。
とても楽しく読ませていただきました (^^)

そしてryumuさんの回答への補足について横槍を入れさせていただくと、

＞エネルギーの吸収による腕の運動エネルギーが変化していない、 
＞というのがいまいちよく解りません。 

　つまり、腕はエネルギーを与えられているので、ボールより速く動いても
よさそうなものなのに、実際はボールと同じ速度で動いているために「腕の
運動エネルギーが変化していない」ということなのです。

　ですよね？ryumuさん。
（すっかりずるい他力本願者だ・・（汗））

hero1000 · Answer

No.4で回答した者です。補足に対する回答です。
・・ていうか、とても楽しそうな話題で盛り上がってますね。(^^)
でもとりあえず回答を優先させていただきます。

＞ボールが腕の力で床に下ろされた時にボールの為した仕事とはなんでしょうか？ 
＞腕にマイナスの仕事をさせた、ということでしょうか？ 
＞それと、エネルギー保存則に腕の筋肉エネルギーを関与させる事はできないので 
＞しょうか？ 
＞太陽から来たエネルギーが植物になり、植物を食べた牛になり、牛肉を食べた 
＞私の腕の筋肉になり、ボールを持ち上げた、では間違いでしょうか？ 

　その発想はとても面白いものですからあまり枠をはめたくないのですが、
力学的エネルギー保存則はあくまでも「力学的なエネルギーについて、その場で
は保存される」ことに則っているものです。
　力学的エネルギーとは「運動エネルギー」と「位置エネルギー」です。
　運動エネルギーは「重さと速度」しか関わりません。
　位置エネルギーは重力によるものの他に、バネによるもの、磁界によるもの、
電界によるものなどがあります。
　これらしか関われないのが力学的エネルギー保存則なのです。
　
　そして力学的エネルギー保存則は、ある物体の運動について適用されます。
　ある位置エネルギーのところから、ある位置エネルギーのところに移動した
物体の速度が増えていたならば、前者と後者の位置エネルギーは前者の方が大
きいことになります。

　腕でボールを棚から床、あるいは床から棚に移した場合、ボール自身が運動
をしたわけではないので力学的エネルギー保存則は適用されません。
　外力が働いたら力学的エネルギー保存則は成立しないのです。
　この「外力」とは、摩擦の力や空気抵抗、そして誰かの行動による作用（腕で
持ち上げるなど）も含まれます。

　総合的なエネルギーの話をするのでしたら腕のエネルギーなどを考慮に入れて
もいいのですが、「力学的エネルギー」に関しては入れてはならないのです。
　腕の筋肉のエネルギーは力学的エネルギーではないからです。

　・・・なんだか長い文のわりにわかりにくくてすみません。
　でも力学的エネルギー保存則に、腕は関われないということはおわかりいただ
けましたでしょうか。

　総合的なエネルギーの話でしたら、いろんなものを想定して組み入れてみるの
も面白いと思います。そんな中で、新しい法則が見つかるかもしれませんよ！

ranx · Answer

３回目の回答となります。ranxです。

joshua01さんの回答、興味深く拝見しました。腕がショックアブソーバーとして
生化学エネルギーの消費とは別に熱を発生するというのは面白い考え方だと
思います。しかし、どうも私の身体的感覚が、ちょっと違うと言っているように
思うのです。

物を持っていると疲れます。低いところの物を高いところへ持ち上げるのはもっと
疲れます。それに比べると、高いところのものを低いところへ降ろすのは楽です。
楽だということは、生化学エネルギーの消費が少ないことを示していないでしょう
か。もちろん、その分、熱の発生も抑えられます。
としたら、高いところにあったボールの位置エネルギーは、この生化学エネルギー
消費の減少分として体内に残ると考えることができるように思われます。降ろし方
によっては疲れることもあるでしょうし、その分、余計に生化学エネルギーを使う
ことになるでしょうけれど、それでも、位置エネルギーの減少分、生化学エネルギー
の消費は少なくてすむはずだと思います。

前２回の回答に比べると自信「あり」なのですが、トータルとしては自信「なし」
です。矛盾していますけれど。

joshua01 · Answer

おもしろい考察ですね。
hero1000さんのおっしゃるとおり、落下阻止のために腕がエネルギーを吸収したと考えるのが良いでしょう。

ボールが落下すると、通常、床に着地する段階でエネルギーは速度になっていて、理想のゴムボールは、永遠にバウンド（位置エネルギーと速度エネルギーの反復交換）します。

手でボールをゆっくり下ろし、床に着地する段階で、速度０であった場合、腕が「ショックアブソーバー」（エネルギー吸収器）として働いています。

ピストンとシリンダーに油を密閉し、小さな穴から油を吹き出すときの抵抗でエネルギーを吸収する「油圧アブソーバー」の場合、例えば自動車のタイヤ近くにおかれて車の振動を吸収するものは、熱となって、大変に熱くなっているときがあります。

腕の場合、腕の位置は、上に引き上げる筋肉と、下に引っ張る筋肉のバランスで成り立ってます。
筋肉が縮むと、アクチンとミオシンというたん白質が引き合いますが、このとき、食べ物のエネルギー（ＡＴＰ）を使います。
一方、このたん白質の結合が切れるときは、イオンの移動が起こり、結局、熱が排出されます。

したがって、ボールのエネルギーは筋肉の熱になり、一方、筋肉がこまかな位置の調整をするためには、いっちょうまえに食べ物のエネルギーを使ということになります。

このため、「ボールのエネルギーを体が受取っているにもかかわらず、疲れてしまう」ということになるのです。

「高いところのボールを床におろしたら、元気が湧いてきた」みたいなことができればいいんですけどね

ranx · Answer

あ、そうか。ボールは床に落としたのではなく、手で運んだのですね。
だからさほど音もしなかったと。
としたら、kajuramさんが正しいと思います。ボールの位置エネルギーは
腕の生化学的エネルギーを消費しながら、最終的には熱エネルギーに
変わったはずです。確かにhero1000さんのおっしゃる通り、この間の
仕事はマイナスですけれど、生化学的エネルギーは単にボールを持ち
続けるだけでも消費されますから、ボールの位置エネルギーの消費分
と生化学的エネルギーの消費分が熱エネルギーに変わるのではないで
しょうか。

位置エネルギーとエネルギー保存則について

楽しそうなので、混ぜさせてもらいます。

この回答への補足

おおっと！！凄い盛り上がりですね～＾＾；

失礼しました。

エネルギー保存則は私の理解では位置エネルギー＝運動エネルギーと解釈しています。

またまたお騒がせします。

たびたびすみません。

この回答への補足

No.4で回答した者です。

この回答への補足

３回目の回答となります。

おもしろい考察ですね。

この回答への補足

あ、そうか。

この回答への補足

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