場の量子論の周期境界条件の長さLは何を表していますか？

お世話になります。教養として場の量子論を学んでいるのですが、
よくわからない点があるので、質問させて頂きます。

場の量子論において、粒子が一辺Lの箱の中に閉じ込められた状態を仮定すると、
波数ベクトルや運動量は、不連続な値が出てきます。
その箱が、井戸型ポテンシャルのような移動しないものであれば理解できるのですが、
電子でも光子でも移動するはずなので、その一辺Lの”箱”というものが、
どのようなものかイメージできません。

そこで質問なのですが、
1)この一辺Lの箱というものは一体何でしょうか？
2)粒子が移動する際、この箱も一緒に動いているのでしょうか？
3)もし2)がYesであれば、粒子だけでなく箱自体の運動量・エネルギー保存も考える必要があると思うのですが、必要でしょうか？

浅学ではございますが、ご教授いただければ幸いです。
よろしくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2015/10/18 15:43

例えば自由粒子の状態密度などを計算したいと思った場合、最初から「無限に広い空間」を考えてしまうと計算がちょっと面倒になってしまいます。

あまり面倒な計算をしないで済ませるための処方箋が
「有限の体積Vに閉じ込めた場合の話を考えておいて、最後にV→∞の極限をとる」
という方法で、このV→∞の極限が、「無限に広い空間」の話なのだと考えます。
※デカルト座標系で考える時にはこの体積Vとして一辺Lの立方体を考えてL→∞とする事になります。

こういう文脈で出てきたもの(最終的にL→∞を考えている)と考えていいのであれば、

>1)この一辺Lの箱というものは一体何でしょうか？
計算の過程で導入した概念ですので物理的な実体は何もありません。


>2)粒子が移動する際、この箱も一緒に動いているのでしょうか？
必要以上に計算を複雑にするメリットは何もないので普通は箱は動かないものと考えます。
箱が動く事を考えても問題ないはずですが、箱の中に複数の粒子がある事を考える事が多いと思いますし「粒子と一緒に動く」事を考えるのは至難の業でしょうね。

この回答へのお礼

eatern27 様

ご回答有難うございました。
おかげさまで理解出来ました。
ベストアンサーに選ばせて頂きます。

お礼日時：2015/10/21 22:36

No.2 回答者： doc_somday 回答日時： 2015/10/16 18:40

済みません、これ場の量子論なんかじゃ無いです、化学屋でさえ知っている最も単純化された井戸型ポテンシャルの問題です。

もし違うなら論述して下さい。Ｌはただ単に無限大のポテンシャルを持つ境界条件間の距離で、この末端で粒子の存在確率はゼロになる、基底状態ならこの二末端が固定された「縄跳び状態」

この回答へのお礼

doc_somday　様
ご回答有難う御座いました。

ただし私の質問は、井戸型ポテンシャルと関連はありませんし、
井戸型ポテンシャル内でのLの定義を尋ねたわけでもありません。

束縛されていない自由粒子の波動関数に現れる体積V
(Ψ=exp(i(kq-ωt)/√V))、またはその長さL、
とは物理的に何であり、それはどれくらいのオーダーか？
また動いたりするものなのか、ということでした。

お礼日時：2015/10/17 17:47

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/16 12:49

詳しくはありませんが。

想定されているものが違っているようなら、回答は無視してください。

＞その箱が、井戸型ポテンシャルのような移動しないものであれば理解できるのですが、
＞電子でも光子でも移動するはずなので、その一辺Lの”箱”というものが、
＞どのようなものかイメージできません。

＞1)この一辺Lの箱というものは一体何でしょうか？

光であれば、「波の反射」として「固定端反射」のようなものを考えればよいのでは。
「自由端反射」であっても、進行波と反射波とで定常波（定在波）ができると、反射端は「波の節」になります。
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=4808

電子の場合も、「反射」を考えてもよいと思いますが、より現実的には原子内の「軌道」の円周長さを考えればよいと思います。

＞2)粒子が移動する際、この箱も一緒に動いているのでしょうか？

粒子と一緒に動いたら境界条件にならないので、粒子の運動とは独立に考えるべきでしょう。
なので 3) は考慮不要。

この回答へのお礼

yhr2　様
ご回答有難う御座いました。

＞粒子と一緒に動いたら境界条件にならないので、粒子の運動とは独立に考えるべきでしょう。
仰る通りですね。

私の疑問は、電子・光子が「自由粒子として振る舞う場合」に、
それらが束縛されているのかどうか、という点でした。
(従って、ボーアの原子模型のような電子軌道は対象ではありません)

粒子が束縛されているなら、そのLが何を表すのかと考えていたのですが、
そもそも束縛されている、というのが認識違いだと今は考えています。
自由粒子の場合、エネルギーが飛び飛びである必要が無い、
ということが言い切れれば、そもそもの問いが間違いでした。

ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/17 17:34