【代数学】(xy)^-1=y^-1*x^-1の証明

【質問】
群Gの元x,yに対し(xy)^-1=y^-1*x^-1を示せ。

【解答】
(xy)^-1=y^-1*x^-1
が成り立つならば、
1=xy(y^-1*x^-1)
が成り立つ。
このことを示せばよい。

xy(y^-1x^-1)=x(yy^-1)x^-1=xx^-1=1

以上のことから、示される。

このように答えを導きました。
はたして正解かわかりません。
どなたか、添削をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： keiryu 回答日時： 2015/11/05 13:08

証明すべきは、「(xy)^-1=y^-1*x^-1」これ。

まだ、正しいかどうか明らかになっていない。
従って、「(xy)^-1=y^-1*x^-1が成り立つならば、」という前提には立てない。
不正解。

単位元は、「1」という表記
(xy)の逆元である(xy)^-1を(xy)に掛けると、(xy)(xy)^-1＝1
この式の両辺に左から、x^-1を掛けると、x^-1*xy(xy)^-1＝x^-1*1
y(xy)^-1＝x^-1
両辺に左から、y^-1を掛けると、y^-1*y(xy)^-1＝y^-1*x^-1
従って、(xy)^-1＝y^-1*x^-1　で、 証明終り。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2015/11/05 14:27