台形ABHGとか三角形AHGの面積の求め方を教えてください。

よろしくお願いいたします。

添付画像の台形ABHGとか三角形AHGの面積のオーソドックスな求め方を教えてください。

とりあえず、
台形ABCFが30で、ABの長さをaとしたとき、
CFは「たぶん」2aじゃないかなーと思いました
←AFの延長線とCBの延長線の交点とCFで三角形を作ると、BAが中線?になるのかなーと。

そうすると
台形ABCF=(a+2a)xhx1/2=30
ah=20で、

三角形AHG=1/2ax3/2h=3/4ah
になるのかなーと。


で、そう考える前に、
三角形AHGは台形ABHGの対角線を使ってできているから、
台形ABHGの面積がわかれば…とか思ったんですが、
わかっても、すぐには三角形AHGの面積は出ないんですね…

でも後学のために教えていただけないでしょうか?

【台形ABCFが30のとき、
台形ABHGは●●だな、三角形AHGは●●だなっ】

って、パッと分かると楽なんですが…

No.1 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/11/24 23:17

とりあえず、2aの証明を二通り

1)
書かれているようにFAとCBの延長の交点をとります
交点をPとすると、△PABは正三角形
またAB//CFより△PFCも正三角形
AP = BP = AB = a
AF = AP + PF = a +a = 2a = FC

2)
正六角形は円に内接します
正六角形の外接円の中心をOとすると、FCの中点がOとなる
△ABOは正三角形となるため、円の半径 = a
CFは直径なので2a


面積は□ABHGから△AHGを求めるのは少し面倒な気はしますよ
△PAB : △PCF = 1:4
△PAB : □ABCF = 1 :3 = x : 30
△PAB = 10, △PCF = 40
△PHGも正三角形となるため
PA : PG = a: 1.5a = 1:1.5
△PAB : △PHG = 1: 2.25
△PHG = △PAB + □ABHG = 22.5
□ABHG = 12.5

もしくは、□ABCFの高さをhとすると、□ABHGの高さは1/2
GH = 1.5aなので □ABCF = (a + 1.5a)/2*1/2h = 2.5ah/4 = 12.5

△ABH : △AGH = a :1.5a (高さは共通のため)
□ABCF : △AGH = 2.5 : 1.5 = 12.5 : x
△AGH = 7.5


他のやり方としては
PFを底辺として図を書きなおして
△AGHは△PCFの底辺を1/4, 高さを3/4にしたものになるので
40 * 1/4 * 3/4 = 7.5

Pを取らないなら
△ACF = 1/2□ABCF = 15
AFを底辺として見たら、△AGHは底辺が1/2, 高さが3/4なので
15 * 1/2 * 3/4 = 7.5

この回答へのお礼

ありがとうございます。
数学が得意な方でも、パッと見で概算は出ない感じなんですね。

ご丁寧な説明ありがとうございました。

お礼日時：2015/11/25 17:52

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/11/25 03:57

最後間違えているので訂正

△ACF = 2/3ABCF = 20
で
20x1/2x4/3 = 7.5
です