7x²－9y²＝391を満たす整数解は存在しないことを証明せよ

「7x²－9y²＝391を満たす整数解は存在しないことを証明せよ」という問題で、私はtを整数として
x²＝7＋9t
y²＝－38+7t
を満たす整数tが存在しないことを示そうと思ったのですがここからが分かりません
分かる方解説お願いします。
また、別の証明方法があれば、ご教授願いたいです。<(_ _)>

No.4 ベストアンサー 回答者： xs200 回答日時： 2015/12/18 07:24

1の続き

もにょもにょやると
7x²－9y²≡0 mod 17
が成り立つのは
x≡0 mod17, y≡0 mod17のときだけです。
ということは
x=17p, y=17qとできます。
7(17p)²-9(17q)²=391
両辺を17で割ると
7x17p²-9x17q²=23
さらに17で割ると
7p²-9q²=23/17
clear

No.7 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/18 22:55

すみません、No.5、6も間違いでした。

9(x²－y²)+2x²＝391
左辺第2項は偶数であるため、x²－y²=(x+y)(x-y)は奇数でなければならない。

xが偶数、yが奇数
またはxが偶数、yが奇数でなければならない。
従って、x=2t、y=t+aとおく。

9(3t²ー2at+a²)+8t²=391
9a²ー18at+35t²ー391=0

∴a=(18±√(18²ー4*9*(35t²ー391))/18
yが整数ではないことを示す。

No.6 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/18 22:03

No.5です。

(修正)

>従って、a/b=23/17となるため、17a=23bは整数ではないことがわかる。(aとbが互いに素となる)

しかし、a/b=23/17となるため、17a=23bは整数ではないことがわかる。(aとbが互いに素となる)



これは背理法での証明です。
No.1、4さんは剰余定理での証明です。

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/18 21:59

素因数分解して、391=17*23

7x²－9y²が17と23の公倍数となっていれば良い。

17の倍数の場合
7x²－9y²=17a(aは整数)
23の倍数の場合
7x²－9y²=23b(bは整数)

x、yが整数であるとすると、17a=23bは整数である。
従って、a/b=23/17となるため、17a=23bは整数ではないことがわかる。(aとbが互いに素となる)

よって、整数解は存在しない。

No.3 回答者： あっくん28 回答日時： 2015/12/17 23:37

すいません

ー６１/9でした
なのでｘ＝４、５のときｋはー５、－４となりますがｙに数字を代入するとー５、－４にならないので
ｋの値が整数の値で一致することはないので題意を満たします

もうしわけありませんでした

No.2 回答者： あっくん28 回答日時： 2015/12/17 23:29

だいぶ激しい問題ですね

最初にすべきは基本的に証明問題なので結論の扱いやすさを考えて
扱いやすいなら直接証明
扱いにくいなら背理法か対偶を用います
今回は明らかに存在しないとあるので大体背理法ですね

なので初めに題意を満たす整数解が存在することを仮定します

また、こういう意味わからん問題系は結論を言い換えて扱いやすい形にします

まずどう見てもｘ²とｙ²がうっとうしいのでｍ、ｎとしておきます
そうするとよく見る下のような不定方程式になります

７ｍ－９ｎ＝３９１

この不定方程式を解き、ｍ、ｎを元のｘ²、ｙ²に戻すと以下のような２式が得られます

ｘ²＝９ｋ+６１・・・１
ｙ²＝－７ｋ－４・・・２　　　（ｋは整数）

ここまでくればあと一息
１でｋについて解くと

ｋ＝１/９ｘ²+６１/９・・・３

また、２についてもｋについて解くと

ｋ＝－１/７ｙ²－４/７・・・４

３、４をよく見比べてみると、問題文の式を満たす整数解が存在するならば整数は実数に含まれているので

ｘ²、ｙ²はともに０以上である

そうすると３、４の式よりｋの符号が一致しない
つまり仮定に反する

よって、上記より7x²－9y²＝391を満たす整数解は存在しない

こんな感じでどうでしょうか

No.1 回答者： xs200 回答日時： 2015/12/17 22:46

391=17x23

mod17で考えましょう
7x²－9y²＝391を満たすなら
7x²－9y²≡0 mod 17が成り立ちます。
寝るので後は親切な人にパス