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文中の文字は一般的な数学公式集の条件と同じと考えて下さい。
合同式
a≡b(mod c)ならば a^n≡b^n(mod c) は成り立ちますが

a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) は成り立ちますか。

公式集でa≡b(mod c)ならば a^n≡b^n(mod c) はよく見ますが逆は見ません。
a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) が成り立つとお考えの場合には成り立つと断言して下さい。大変申し訳ないのですが質問者に対する疑問文で回答を終わらせないで下さい。
反例をあげて成り立たないと書く場合にはどういうときに成り立ち、どういうときに成り立たないかお書き下さい。

A 回答 (6件)

ふつうこの手の命題は


任意の a, b, c, n に対して「a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)」が成り立つ
と読むし, その観点でいえば #5 で言われているように「反例を 1つ挙げる」だけで終わる.

「どういうときに成り立ち、どういうときに成り立たないか」ということを問題にするなら
a, b, c, n のうちどれを固定してどれを「任意に設定できる」ものにするか
というところから話はスタートする (すべてを任意に選んでいいなら上で終わってるし, 逆にすべて given では話にならない). 議論として面白いのは
c と n を固定したときに, 任意の a と b に対して「a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)」が成り立つかどうか
だろうけど, そうだとしても厳密に答えようとすると高校ではしないような話が出てくる (あるいはそのような話を使った方が議論が簡単) んじゃないかな.
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この回答へのお礼

高校のレベルを超えているのですね。ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/25 02:58

a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) は成り立つ場合、


全てのa^n≡b^n(mod c)に対してa≡b(mod c) が成り立つことを意味する。

従って、反例が1つでも見つかれば成り立たないと言える。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/25 02:57

仕切り直し



1^n≡b^n≡1(mod (b^n)-1)
1≡1(mod (b^n)-1)
b≡b(mod (b^n)-1)

よって成り立たない。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。大変勉強になりました。

お礼日時:2015/12/24 04:41

No.2の後半は失敗です。


すみません。
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この回答へのお礼

とんでもないです。ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/24 04:41

そもそもそんな論理は考えない。



>a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) は成り立ちますか。
n→n-1にする場合、a、もしくはbで割ることになる。

割り算に対する論理は考えられない。
もし、a^n≡2(mod7)を考えたなら、
a=7m+2、(7m+3)^2の時で成り立つ。

a^1≡a^4≡…≡a^(3x+1)≡2 (mod7)

b=7m+3とおくと、
b^2≡b^8≡…≡b^(6y+2)≡2 (mod7)

3x+1=6y+2の場合、
a^n≡b^n≡2(mod7)であるが、
a≡2(mod7)、b≡3(mod7)

よって成り立たない。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。成り立たないことがわかったので入試問題をもう一度解いてみます。

お礼日時:2015/12/24 04:40

反例


n=0, a≠b

>どういうときに成り立たないかお書き下さい。
高校レベルの数学知識(+αかな)で十分解ける問題なので自分で考えましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/21 16:49

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