x=(√(-2))のときx=(√(-2))のまま累乗

x=(√(-2))のときx=(√(-2))のまま累乗しても
x^2=(√(-2))^2=-2
x^3=(√(-2))^3=(-2)^(3/2)=(-2)√(-2)= -2√2i
x^4=(√(-2))^4=(-2)^2=4
x^5=(√(-2))^5=(-2)^(5/2)=(-2)^(2と1/2)=4√2i
x^6=(√(-2))^6=(-2)^3= -8
正しい答えがでてきます。

x=(√(-2))のときx=√2iと直してから累乗しても
x^2=(√2i)^2=2i^2=-2
x^3=(√2i)^3=2^(3/2)(i^3)=2√2(-i)= -2√2i
x^4=(√2i)^4=2^2(i^4)=4(-1)(-1)=4
x^5=(√2i)^5=(2)^(2と1/2)i^5= 4√2(-1)(-1)i=4√2i
x^6=(√2i)^6=(2^3)(i^6)= 8(-1)^3= -8
正しい答えがでてきます。


高校では下のやり方でiを使って計算するように教わりました。
しかし上のやり方の方が多少計算が楽です。
(√(-a))^n(nは自然数)はaが自然数ならばiを使わずに上のやり方で計算できるのですか。

質問者からの補足コメント

• i^n
  nを4で割った余りによって分類
  
  nが4の倍数のとき(nを4で割った余りが0)のときi^n=1
  nを4で割った余りが1のときi^n= i (nが4以下のn=1のときも含む)
  nを4で割った余りが2のときi^n= -1 (nが4以下のn=2のときも含む)
  nを4で割った余りが3のときi^n= -i (nが4以下のn=3のときも含む)
  
  これであっていますか。

    補足日時：2015/12/24 00:58

• すいません。kmee様の欄にお礼の言葉が抜けていました。
  回答ありがとうございました。
  いつも素早くわかりやすい回答ありがとうございます。

    補足日時：2015/12/24 01:25

No.5 ベストアンサー 回答者： kmee 回答日時： 2015/12/24 08:21

nが4の倍数のとき(nを4で割った余りが0)のときi^n=1

nを4で割った余りが1のときi^n= i (nが4以下のn=1のときも含む)
nを4で割った余りが2のときi^n= -1 (nが4以下のn=2のときも含む)
nを4で割った余りが3のときi^n= -i (nが4以下のn=3のときも含む)

そういうことです。


n=4m+r (n÷4 = m 余りr)
とすると
i^n
= i^4m ・ i^r
= (i^4)^m ・ i^r
i^4 = 1 より
= 1^m ・ i^r
= i^r

したがって

i^n = i^r ( n ≡ r (mod 4) )

この回答へのお礼

iを使った方が簡単の意味がわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2015/12/24 09:07

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/24 01:32

>上のやり方自体は一般的ではないにせよ正しい答えが導けることに

>異論ありませんか。何度もすいません。

奇数乗まで含めた話なら、
高校のやり方と差異はないと思います。

なぜ楽だと思うのかさっぱりわかりません。手間は全く同じだと思います。

この回答へのお礼

正しい答えが導けることに異論はないのですよね。回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/12/24 01:50

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/24 00:45

>奇数乗ではなぜダメなのですか

奇数乗では√(-2)=√(2)i という知識が必要だからです。
√(一2)のままでは i は出てきません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。上のやり方自体は一般的ではないにせよ正しい答えが導けることに異論ありませんか。何度もすいません。

お礼日時：2015/12/24 01:07

No.2 回答者： kmee 回答日時： 2015/12/24 00:33

そうですか?

私には (√a・i)^n の方が簡単だと思いますが。

(√a・i)^n
= (√a)^n・i^n

(√a)^n は、普通に実数のべき乗。

i^n は、 nを4で割った余りによって
1
i
-1
-i
の4種類しかないから、簡単に求められます。


> x^4=(√(-2))^4=(-2)^2=4

x^4=(√(-2))^4=-2^2=-4
とかやってしまいそうです。

この回答へのお礼

4で割った余りによって
1
i
-1
-i
の4種類しかないから、簡単に求められます。
ここ詳しくお願いしたいです。

お礼日時：2015/12/24 00:42

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/24 00:04

たまたま偶数乗ならうまくゆくだけ。

一般性の有るやり方ではありません。
それを理解した上でならもんだいないです。

この回答へのお礼

奇数乗ではなぜダメなのですか。回答ありがとうございました。質問文では3乗、５乗 していますが成り立っています。

(√(-a))^n(nは自然数のうち偶数)はaが自然数ならばiを使わずに計算できるとお考えですか。

お礼日時：2015/12/24 00:35