複素関数の問題について質問です．教えて下さい．

複素数の定数a，および複素関数f(z)，g(z)について
a=3-i√3
f(z)=z^4-64
g(z)=(z^4)/f(z)

(1)aを極座標で表わせ．

(2)次の値を求め，x+iy の形あるいは実数で表わせ．
ア，(i/a)+(a/i)
イ，a^6

(3)方程式f(z)=0を満たすzをすべて求めよ．解はx+iyの形で表わせ．

(4)積分経路Cを|z+3|=1 (正方向)　とするとき，∫g(z)dz の値を求めよ．

という問題です．わかる方がいらっしゃいましたら，解説をお書きのうえ
回答していただけると幸いです．よろしくお願いいたします．

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/12/24 13:11

(1)aを極座標で表わせ．

a=3-i√3＝re^(iθ)

r=√[3^2+(-√3)^2]=√12=2√3
tanθ=-√3/3=-1/√3　⇒　θ＝-π/6

a=2√3e^(-iπ/6)


(2)次の値を求め，x+iy の形あるいは実数で表わせ．
ア，P=(i/a)+(a/i)
a/i=(3-i√3)/i=-√3-3i
i/a=1/(-√3-3i)=-1/(√3+3i)=-(√3-3i)/(√3+3i)(√3-3i))=-(√3-3i)/12
=-√3/12+i/4
P=(i/a)+(a/i)=-√3-3i-√3/12+i/4=-13√3/12-11i/4

イ，a^6=(2√3e^(-iπ/6))^6=2^6*3^3e^(-iπ)=-1728

(3)方程式f(z)=0を満たすzをすべて求めよ．解はx+iyの形で表わせ．

f(z)=z^4-64=0

z=re^(iθ)とおく

r^4e^(4iθ)=64

r=√8=2√2
4θ=2nπ
θ=nπ/2＝π/2,π,3π/2,2π
z=2√2,i2√2,-2√2,-i2√2

(4)積分経路Cを|z+3|=1 (正方向)　とするとき，∫g(z)dz の値を求めよ．
I=∲Cg(z)dz=∲C[z^4/(z^4-64)]dz
C内にある特異点はx=-2√2であって、1位の極になっている。この点における留数は
Res(-2√2)=lim(z→-2√2){(z+2√2)[z^4/(z^4-64)]}
=lim(z→-2√2){z^4/[(z-2√2)(z+2√2i)(z-2√2i)]}
=(-2√2)^4/[(-2√2-2√2)(-2√2+2√2i)(-2√2-2√2i)]
=-2^6/[(4√2)(2√2)^2(1-i)(1+i)]=-1/√2
コーシーの定理より
I=∲Cg(z)dz=∲C[z^4/(z^4-64)]dz=2πiRes(-2√2)=-√2πi

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！

お礼日時：2015/12/25 21:23