No.2ベストアンサー
- 回答日時:
γ と ζ がともに 2 以上の自然数で (γ, ζ) = 1 なら log_ζ(γ) は無理数ってことをいえばいい。
練習として log_2(3) とか log_10(21) が無理数だってことを、まず証明してみましょう。
Z が PID で、よって UFD ってことは、あなたが高校生か工学部の学生なら、証明せずに使っていいですよ。
ありがとうございます。
α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数。
α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
ならば
α=δ
β=ε
が成り立つこと示すためですか。
成り立たないことを示すためですか。
No.4
- 回答日時:
少しミスがありますが、大体よくできていると思います。
> 有理数と仮定
> log(2)3=n/m m,n 整数
log_2(3) > 0 なので m, n はともに正整数として構いません。
そうすれば
> あとn=m=0のとき等号成立してしまうし…
といった心配も不要です。
さらに n/m が既約分数になるように m, n を選ぶのがマナーです。
> 3^m=2^n
> 左辺偶数、右辺奇数
> よって矛盾
左辺が奇数で、右辺が偶数ですね。
次に
> 有理数と仮定
> log(10)21=n/m m,n 整数
上と同じく m, n はともに正整数としましょう。
> 10^m=21^n
> 左辺2^m5^m、右辺3^n7^n
ここは 10^n = 21^m が正しい。
よって左辺は (2^n)(5^n) で右辺は (3^m)(7^m) となります。
> よって矛盾(ここあやふやです)
どういう理由で「あやふや」なのですか。
あと、補足にあった「参考資料」では、正整数 γ と ζ が互いに素であることを、どう定義しているのでしょうか。
log_ζ(γ) と書けば、底である ζ は決して 1 に等しくありませんけれど。
No.3
- 回答日時:
> さらに底と真数が互いに素な対数は無理数。
> これは正しいですか。少しあやふやです。
> の部分は解決しました。
> 参考資料に正しいとありました。
私はあなたの理解度を知りたいのです。
そうでないと、適切なアドバイスができません。
よって、参考資料がどうとかではなく、あなた自身で証明してください。
有理数と仮定
log(2)3=n/m m,n 整数
3^m=2^n
左辺偶数、右辺奇数
よって矛盾
有理数と仮定
log(10)21=n/m m,n 整数
10^m=21^n
左辺2^m5^m、右辺3^n7^n
よって矛盾(ここあやふやです)
あとn=m=0のとき等号成立してしまうし…
是非さらに説明お願いします。
回答ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
α+βlog3=3+2log3 (1)
一般に一つの式から1つの未知数が決まります。2つとも決まるには条件が必要です。
(1)より
β=2+(3-α)/log3
α=3のときβ=2は一つの解で
α=1のときβ=2+2/log3も一つの解です。
要するに不定です。
α-3=2log3+βlog3
α-3= (2-β)log3
α-3=log3^ (2-β)
2を底とする指数に直す。
2^(α-3)=2^(log3^ (2-β))
2^(α-3)=3^ (2-β)
2と3は互いに素であるから
α-3=0
2-β=0
α=3
β=2
でひとつに定まるのではないか。と書いて気づきました。
条件が抜けてます。すいません。
α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数です。
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これを前提として書いています。
条件が抜けていました。すいません。
α、βは整数。
α+βlog3=3+2log3 (底は2)
このときα=3, β=2。
底と真数が互いに素なため。
α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数。
α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
ならば
α=δ
β=ε
これでいいでしょうか。
α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数。
α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
ならば
α=δ
β=ε
これを背理法を用いて証明する。
α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
α-δ+(β-ε)logγ=0
γとζは互いに素であるからlogγは無理数。
0は有理数。
α-δ≠0とすると左辺は無理数。右辺は有理数で矛盾する。
よって
α-δ=0
β-ε=0
α=δ
β=ε
Q.E.D.
これでいいですか。
さらに底と真数が互いに素な対数は無理数。
これは正しいですか。少しあやふやです。
すみません。
さらに底と真数が互いに素な対数は無理数。
これは正しいですか。少しあやふやです。
の部分は解決しました。
参考資料に正しいとありました。
α-δ≠0とすると左辺は無理数。右辺は有理数で矛盾する。
よって
α-δ=0
β-ε=0
のところおかしいです。
β-ε≠0とすると左辺は無理数。右辺は有理数で矛盾する。
よって
β-ε=0
α-δ+0logγ=0
α-δ=0
こうでした。
α-δ+(β-ε)logγ=0
γとζは互いに素であるからlogγは無理数。
logγ=-(α-δ)/(β-ε)
α-δ=n
β-ε=m
とおくと
logγ=-n/m (m,nは整数)
m≠0とすると右辺有理数。
左辺logγは無理数。 よって矛盾。
すなわち
m=0
β-ε=0
α-δ+0logγ=0
α-δ=0
α=δ
β=ε
Q.E.D.
この方が有理数の定義に基づいておりいいかも知れません。
α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数。
α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
ならば
α=δ
β=ε
これを背理法を用いて証明する。
α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
α-δ+(β-ε)logγ=0
γとζは互いに素であるからlogγは無理数。
0は有理数。
β-ε≠0とすると左辺は無理数。右辺は有理数で矛盾する。
よって
β-ε=0
α-δ+0logγ=0
α-δ=0
α=δ
β=ε
Q.E.D.
このやり方だとα,β,γ,εが整数以外でもよくなってしまうのでダメなのかも知れません。