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α+βlog3=3+2log3 (底は2)
このときα=3, β=2としてはダメか。
底や真数が互いに素なら常にいいのか。

つまり
α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
γ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
ならば
α=δ
β=ε
これは成り立ちますか。

質問者からの補足コメント

  • A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^c=B^dを満たす整数(正の整数,0,負の整数)c,dはc=0,d=0のみ。A,Bが負の整数、0のとき成り立たない。
    これを前提として書いています。

      補足日時:2015/12/27 08:55
  • 条件が抜けていました。すいません。
    α、βは整数。
    α+βlog3=3+2log3 (底は2)
    このときα=3, β=2。
    底と真数が互いに素なため。


    α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数。
    α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
    真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
    ならば
    α=δ
    β=ε

    これでいいでしょうか。

      補足日時:2015/12/27 15:31
  • α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数。
    α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
    真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
    ならば
    α=δ
    β=ε

    これを背理法を用いて証明する。
    α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
    真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)

    α-δ+(β-ε)logγ=0
    γとζは互いに素であるからlogγは無理数。
    0は有理数。
    α-δ≠0とすると左辺は無理数。右辺は有理数で矛盾する。
    よって
    α-δ=0
    β-ε=0

    α=δ
    β=ε
    Q.E.D.

    これでいいですか。

    さらに底と真数が互いに素な対数は無理数。
    これは正しいですか。少しあやふやです。

      補足日時:2015/12/28 22:18
  • すみません。
    さらに底と真数が互いに素な対数は無理数。
    これは正しいですか。少しあやふやです。
    の部分は解決しました。
    参考資料に正しいとありました。

      補足日時:2015/12/28 22:56
  • α-δ≠0とすると左辺は無理数。右辺は有理数で矛盾する。
    よって
    α-δ=0
    β-ε=0

    のところおかしいです。
    β-ε≠0とすると左辺は無理数。右辺は有理数で矛盾する。
    よって
    β-ε=0
    α-δ+0logγ=0
    α-δ=0

    こうでした。

      補足日時:2015/12/28 23:04
  • α-δ+(β-ε)logγ=0
    γとζは互いに素であるからlogγは無理数。
    logγ=-(α-δ)/(β-ε)
    α-δ=n
    β-ε=m
    とおくと
    logγ=-n/m (m,nは整数)
    m≠0とすると右辺有理数。
    左辺logγは無理数。 よって矛盾。
    すなわち
    m=0
    β-ε=0
    α-δ+0logγ=0
    α-δ=0

    α=δ
    β=ε
    Q.E.D.

    この方が有理数の定義に基づいておりいいかも知れません。

      補足日時:2015/12/28 23:49
  • α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数。
    α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
    真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
    ならば
    α=δ
    β=ε

    これを背理法を用いて証明する。
    α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
    真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)

    α-δ+(β-ε)logγ=0
    γとζは互いに素であるからlogγは無理数。
    0は有理数。
    β-ε≠0とすると左辺は無理数。右辺は有理数で矛盾する。
    よって
    β-ε=0
    α-δ+0logγ=0
    α-δ=0

    α=δ
    β=ε
    Q.E.D.
    このやり方だとα,β,γ,εが整数以外でもよくなってしまうのでダメなのかも知れません。

      補足日時:2015/12/29 00:00

A 回答 (4件)

γ と ζ がともに 2 以上の自然数で (γ, ζ) = 1 なら log_ζ(γ) は無理数ってことをいえばいい。


練習として log_2(3) とか log_10(21) が無理数だってことを、まず証明してみましょう。
Z が PID で、よって UFD ってことは、あなたが高校生か工学部の学生なら、証明せずに使っていいですよ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。


α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数。
α+βlogγ=δ+εlogγ(底はζ)
真数と底であるγ,ζが互いに素(γ,ζは素数である必要はない)
ならば
α=δ
β=ε

が成り立つこと示すためですか。
成り立たないことを示すためですか。

お礼日時:2015/12/28 21:11

少しミスがありますが、大体よくできていると思います。



> 有理数と仮定
> log(2)3=n/m m,n 整数
log_2(3) > 0 なので m, n はともに正整数として構いません。
そうすれば
> あとn=m=0のとき等号成立してしまうし…
といった心配も不要です。
さらに n/m が既約分数になるように m, n を選ぶのがマナーです。
> 3^m=2^n
> 左辺偶数、右辺奇数
> よって矛盾
左辺が奇数で、右辺が偶数ですね。

次に

> 有理数と仮定
> log(10)21=n/m m,n 整数
上と同じく m, n はともに正整数としましょう。
> 10^m=21^n
> 左辺2^m5^m、右辺3^n7^n
ここは 10^n = 21^m が正しい。
よって左辺は (2^n)(5^n) で右辺は (3^m)(7^m) となります。
> よって矛盾(ここあやふやです)
どういう理由で「あやふや」なのですか。

あと、補足にあった「参考資料」では、正整数 γ と ζ が互いに素であることを、どう定義しているのでしょうか。
log_ζ(γ) と書けば、底である ζ は決して 1 に等しくありませんけれど。
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> さらに底と真数が互いに素な対数は無理数。


> これは正しいですか。少しあやふやです。
> の部分は解決しました。
> 参考資料に正しいとありました。

私はあなたの理解度を知りたいのです。
そうでないと、適切なアドバイスができません。
よって、参考資料がどうとかではなく、あなた自身で証明してください。
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この回答へのお礼

有理数と仮定
log(2)3=n/m m,n 整数
3^m=2^n
左辺偶数、右辺奇数
よって矛盾

有理数と仮定
log(10)21=n/m m,n 整数
10^m=21^n
左辺2^m5^m、右辺3^n7^n
よって矛盾(ここあやふやです)
あとn=m=0のとき等号成立してしまうし…

是非さらに説明お願いします。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/29 10:17

α+βlog3=3+2log3 (1)



一般に一つの式から1つの未知数が決まります。2つとも決まるには条件が必要です。

(1)より

β=2+(3-α)/log3

α=3のときβ=2は一つの解で

α=1のときβ=2+2/log3も一つの解です。

要するに不定です。
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この回答へのお礼

α-3=2log3+βlog3
α-3= (2-β)log3
α-3=log3^ (2-β)
2を底とする指数に直す。
2^(α-3)=2^(log3^ (2-β))
2^(α-3)=3^ (2-β)
2と3は互いに素であるから
α-3=0
2-β=0

α=3
β=2
でひとつに定まるのではないか。と書いて気づきました。
条件が抜けてます。すいません。
α,β,δ,εは整数(正の整数,0,負の整数)。γ,ζは正の整数です。

お礼日時:2015/12/27 15:18

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