こんばんは!学校で出された問題がどうしても分からないため、質問します!(ToT)

Q サイコロA、Bの1の目の出る割合の差を検定するために、予備検定としてそれぞれ30回ずつ振ったところ1の目が出た回数はAが3回、二つのサイコロの結果を合わせると10回だった。
(1)二つのサイコロの1の目が出る割合の差を検定するための帰無仮説を立てなさい。
(2)帰無仮説が正しいという前提で、1の目が出る期待値を答えなさい。
①サイコロA、Bともに1の目が出る期待値は、30回中何回?
②サイコロA、Bともに1の目が出ない期待値は30回中何回?

ご協力お願いします!!!

A 回答 (4件)

No.3です。

読み返してみたら、中央付近の下記の文章(前振り説明の最終部分)がちょっと変ですね。下記のように訂正します。

(No.3の記述)
 従って、(a)を帰無仮説にして、「等しい」が否定されたら「等しくない」が結論になる、「等しい」が否定できなかったら「等しくないとまでは言えない(どのように違うかまでは言う必要がない)」が結論になる、というやり方をするのが普通かな、と思います。


(以下のように訂正)
 従って、(a)を帰無仮説にして、「等しい」が否定されたら「等しくない」が結論になる(どのように違うかまでは不明だが)、「等しい」が否定できなかったら「等しくないとまでは言えない」(とは言っても「等しい」と断定できるわけではない)が結論になる、というやり方をするのが普通かな、と思います。
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No.1&2さんは統計の専門家のようですので、正しい回答だと思うのですが、ちょっと分かりにくいような・・・。


私は統計にそれほど詳しくはないので、正しいかどうか自信はありませんが、考え方を述べたいと思います。

この問題の場合には、サイコロの目は「二項分布」に従うということは分かりますね?

二項分布
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85 …
http://mathtrain.jp/bin

 サイコロは、経験的に各目が1/6の確率で出ることを知っていますが、この場合にはそれが分からないとして(あるいはサイコロAもBもいびつにできていて、各目が均等に出るかどうかわからない、という仮定で)、一方の「1の出る確率」(あるいは期待値)を基準にして、他方が同じ確率(あるいは期待値)といえるかどうかを調べる問題、と考えます。

 この場合、「帰無仮説」とは、それが統計的に「めったに起こらない」として否定するための仮説ですが、この場合には
(a)2つのサイコロの「1の出る確率」(あるいは期待値)は等しい
(b)2つのサイコロの「1の出る確率」(あるいは期待値)は等しくない
のどちらでもよいのです。統計的に「否定できる」か「否定できない」を判定するので、どちらでもよいわけです。

 これを(b)にしようとすると、「等しくない」って、では一体どう違うのか(大小関係とか、いくつ以上差があるとか)も仮定しないといけませんし、「(b)が否定されたから(a)である」というための(b)の条件って何? というのが結構難しいです。
 従って、(a)を帰無仮説にして、「等しい」が否定されたら「等しくない」が結論になる、「等しい」が否定できなかったら「等しくないとまでは言えない(どのように違うかまでは言う必要がない)」が結論になる、というやり方をするのが普通かな、と思います。

 ということで、問(1)の答を上記の(a)にしましょう。

 そうすれば(2)は簡単です。AもBも「同じ確率」と仮定したのですから。
 なお、No.1さんは「設問には、帰無仮説は棄却されないと書かれています」と書かれていますが、設問にはそんなことは書かれていないと思います。まだ「予備検定として」の段階ですから。「帰無仮説が正しいという前提で」ということなので、これは「もし帰無仮説が正しいとしたら」という「仮定」でよいのだと思います。

 ということで、「各々30回振って1の目が出たのは、Aが3回、Bが7回」つまり合計で「60回中10回」です。AとBとは同じ確率なので、「1が出る確率」はAとBの試行の合計値を使えばよいわけです。(二項分布では、サンプル数を多くするほど「正規分布」に近づくので)
 つまり、AもBも「1の目の出る確率は1/6」ということです。ここでは、「1以外の目が出る確率」は「 1 - (1/6) = (5/6) 」であって、2以上が各々「1/6」ずつである必要はありません。

 ということで、
①各々30回振ったときに1の目の出る期待値は
  A:30 × (1/6) = 5 回
  B:30 × (1/6) = 5 回

②各々30回振ったときに1の目の出ない期待値は
  A:30 × [ 1 - (1/6) ] = 25 回
  B:30 × [ 1 - (1/6) ] = 25 回
となります。


 この問題は、実際に「検定」をさせる問題ではなく(だから問題文にも「予備検定として」と断っている)、「帰無仮説」とは何か、それをどのように選べばよいか、その仮説はどのような意味を持つのか、を問うている問題かと思います。

 この問題で、(1)で(b)を選んでしまったら、(2)の答ば出ませんから。

 ちなみに、似たような問題へのこんな回答もしていますので、併せて参考にしてください。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9158813.html
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございました!!
講義の先生より分かりやすい説明で、本当に助かりました!なんとか課題を提出できそうです。
本当にありがとうございました!

お礼日時:2016/01/30 17:45

#1です。



ベイズ推定でやったときの確率が、
このケースでは違わないと書きましたが、
本来6項のディリクレ分布を二項分布にしてしまっているので、
怪しいです。

また、ベイズでは二項分布の場合、事前分布をベータ分布Be(α,β)で与えます。
そこから、期待確率pは、
p=(α+x)/(α+β+n)
と求められます。
つまり、事前分布をどのように考えるかで、α,βの値が変わりますので、
最尤推定値とは異なる値が出てきます。
スミマセン。
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企業で統計を推進する者です。



1以外の目には言及されていませんので、コインの裏表の割合と同じと考えれば良いです。

(1)確率の表現方法を、どう教えられているか分かりませんが、
xが生起する確率をPとすると、それをP(x)と書きます。Pは大文字です。
観測を生んでいる母確率をpとしますと、正確にはP(x|p)となります。pは小文字です。
Pは、観測毎に与えられます。毎回の確率は違っていて当たり前です。
そのPは二項分布に従います。
今は、この母確率pが二者で「違わない」(差というのは変)というのが帰無仮説になります。
pA=pBです。A,Bは下付きの添え字にして下さい。

(2)イカサマかどうかを検定しろとは言っていません。
違いがないかどうか検定しろ、という問題ですので、
2×2分割表の検定でやります。

サイコロ___A___B
1の目____3___7
その他____27___23

さて、これをχ2検定でやるのですが、これは良いのですね。
設問には、帰無仮説は棄却されないと書かれています。

すると、観測結果として、合計60回の試行で、10回の観測が得られたことになります。
ここから母確率を最尤推定します。
コインの裏表のように考えて良いことから、二項分布になります。
二項分布の式は調べて下さい。
対数尤度 logL(p|x)=logC(n,x)+xlogp+(n-x)log(1-p)  Cは組み合わせの数
を微分して0と置き、極大値を求めます。
そのときのpが期待値です。
x/p-(n-x)/(1-p)=0
より、p=x/n
よって、p=1/6
期待値を求めなさいと問われているので、わざわざ最尤推定しました。
60回の試行で得られた確率Pと母確率pは、実は最尤推定では同じになります。
ベイズ推定では違いますので、注意して下さい。
(このケースは同じになりますけどね)
①30×p=5
②30×(1-p)=25
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この回答へのお礼

助かりました

細かく解説して頂き、ありがとうございました!!
なんとか課題を終わらすことができそうです!
ほんとに助かりました (^^)!

お礼日時:2016/01/30 17:41

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