正弦関数について

添付図(1)式で、なぜ電圧の実効値と位相がわかれば瞬時値が決まるのでしょうか？
それらに更に、tが決まって始めて瞬時値が決まるような気がするのですが…。
（Vm、ω、θ、tが全部揃わないとｖが決まらない気がするのですが…。）

なぜ電圧の実効値と位相がわかれば瞬時値が決まるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• よくわかりました。ありがとうございます。
  
  関連する別の質問です。
  黒枠①の数式では最大値は Vm ですが、青枠②③の数式では最大値は Vm/√2 となります。
  
  最大値が異なる事からもわかる通り、
  「青枠②③の数式は、元の黒枠①の数式全てを表してはいない」
  と思います。
  
  以上の事から、
  「正弦波交流電圧の式と、それを元にして得たフェーザ表示の数式とは同じものではない」
  「フェーザ表示は元となる正弦波交流電圧の式の全てを表してはいない」
  と考えて差し支えないでしょうか？

  
    補足日時：2016/02/07 03:51

• わかり易く教えてください。
  V=Vm/√2×∠θ　の最大値はいくらですか？またその時のθはいくらですか？

    補足日時：2016/02/09 23:31

• 自己解決しました。ありがとうございます。

    補足日時：2016/02/14 00:10

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/13 14:51

>「あるか？」「ないか？」を質問したのに、

>「ある」「ない」「わからない」以外の
>回答がなされるのはおかしいと思いませんか？

「ない」 これでいいの？ これじやわからんでしょ？

そもそもⅤ(複素数)には大小が問えないので、
最大も最小もない。θを変えても向きが
変わるだけ。つまり質問自体が頓珍漢 という意味で
「ない」です。

皆さん、こんな頓珍漢な質問をどうどうとしてしまう困ったちゃん
にどうわからせようか四苦八苦しているのに、当のご本人は
「余計なことを答えるな」といわんばかりの爆弾落として
威張っていては、もう誰にも相手にされなくなりますよ。

で解説に戻ると、Vの最大値は勿論ありません。
最大値は Vmsin(ωt+θ) をtで変化させた場合はあります。
グラフがsin波なので、波の山の頂上と谷の底になりますが。

交流理論で波が最大値をとるピークとは、普通
正のピークと負のピークの両方のことなので
その線で答えると

ピーク値は+VmとーVm

ピークでの ωt+θ= (n+1/2)π つまり t={(n+1/2)π-θ}/ω (nは整数)

この回答へのお礼

思わないようですので、ここでの書き込みはご遠慮下さい。

書き込みをしたいのであれば、他のスレないし、自分で掲示板を立ち上げ、そこに書き込みをして下さい。
くれぐれも金輪際書き込む事の無いようお願いします。

お礼日時：2016/02/13 16:20

No.10 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/10 10:44

>>No.9さん。

激励ありがとうございます。（当然皮肉であることは理解していますが）
こうなると、半分意地ですね。

No.8です。「補足」に書かれたことについて。

＞①V=Vm/√2×∠θ　の最大値はありますか？あるならいくらですか？

何度も言うように、
「V=Vm/√2×∠θ」　　（１）
と
「V = Vm * sin(ωt + θ)」　　（２）　
とは等価なのです。（１）は、「（２）をこのように表記しましょう」と言っているだけです。

電圧も、電流も、電力も、インピーダンスも、みんな「ωt」の時間関数で一緒に動くので、これを取り払って、「位相」だけで表記しましょう、というのが（１）です。

↓　こちらの質問も、同じ内容の説明だということが分かりますよね？
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9172649.html


＞②「その時のθはいくらですか」という問題ではなく、基準にしたものからの「位相」だということが分かりますよね？　＞インピーダンスや、電圧と電流との関係から決まります。
＞これについてもう少し詳しく優しく教えてください。

う～ん、上の（２）式の意味が分かっていないということですか？
このレベルからの復習が必要ですか。
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%9B%BB%E6%B0%97 …

　交流回路で、電源電圧を t=0 のとき 0V となる初期条件で
　　V = Vｍ*sin(ωt)
とすると、抵抗やコイル、コンデンサーで構成される回路の電流は、合成インピーダンス Z によって決まる位相 θ1 で
　　I = V/Z = Iｍ* sin(ωt + θ1)
になります。「θ1」が、電源電圧を基準にした「電流の位相」です。これに従って、抵抗、コイル、コンデンサーに発生する電圧は
　　VR = R*Iｍ * sin(ωt + θ1)　　←電流と同位相
　　VL = ωL*Iｍ * sin(ωt+ θ1 + パイ/2) 　　←電流より（パイ/2）位相が進む
　　VC = (1/ωC)*Iｍ * sin(ωt+ θ1 - パイ/2)　　←電流より（パイ/2）位相が遅れる
ということはよいですよね？

　いちいちこんな三角関数で同じ「sin(ωt)」を繰り返し書くのが面倒なので、これを省略して
　　V = Ve∠0
　　I = Ie∠θ1
　　VR = R*Ie∠θ1
　　VL = ωL*Ie∠(θ1 + パイ/2)
　　VC = (1/ωC)*Ie∠(θ1 - パイ/2)
と書くようにしましょう、というのが質問に書かれたテキストの内容です。

　これは上にも書いたとおり「表記方法」の問題であって、「θ1」をインピーダンスや電圧・電流の比から求めるのは、どちらも同じです。表記方法を変えたら、自動的に求まるなどということはありません。

　なお、この書き方は、「複素数」を学んでいない人向きにこうしたもので、一般的なものではないことに注意が必要です。
　一般的には、↓　こちらの質問に書かれているとおり、複素数表示にします。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9172649.html

　上の三角関数で「sin(ωt)」を省略したのと同じことを、「exp(jωt)」を省略して
　　V = Ve*exp(0) = Ve*[ cos(0) + j*sin(0) ]
　　I = Ie*exp(θ1) = Ie*[ cos(θ1) + j*sin(θ1) ]
　　VR = R*Ie*exp(θ1) = R*Ie*[ cos(θ1) + j*sin(θ1) ]
　　VL = ωL*Ie*exp(θ1 + パイ/2) = ωL*Ie*[ cos(θ1 + パイ/2) + j*sin(θ1 + パイ/2) ]
　　VC = (1/ωC)*Ie*exp(θ1 - パイ/2) = (1/ωC)*Ie*[ cos(θ1 - パイ/2) + j*sin(θ1 - パイ/2) ]
と表記するようにしましょう、というのが「フェーザ表示」です。電圧、電流、電力、インピーダンスのかけ算・割り算が、「絶対値のかけ算・割り算と、位相の足し算・引き算でできる」というのがミソです。
　上では当たり前のように「コイルの電圧は、電流より（パイ/2）位相が進む」と書きましたが、これは
「コイルのインピーダンスは ZL = ωL*exp(パイ/2) = jωL である」ことを使って、
　　VL = I * ZL = Ie*exp(θ1) * ωL*exp(パイ/2) = ωL*Ie*exp(θ1 + パイ/2)
の計算をしているということなのです。

　少しは、ありがたみが分かりましたか？　これからいろいろな場面で、そのありがたみが分かると思いますよ。


　これをさらに、「電圧」「電流」「電力」の実効値が
　　　Pe = Ve*Ie
となるように
　　　Ve = Vm/√2
　　　Ie = Im/√2
と定めるのは、また別の問題です。こちらは下の回答を参照ください。
　そちらに書いたように、
　　　Pe = (1/2)Vm*Im
ですから。

この回答へのお礼

「V=Vm/√2×∠θ　の最大値はありますか？あるならいくらですか？」
と、前回書きました。

このスレを立てたスレ主が、
「あるか？」「ないか？」を質問したのに、
「ある」「ない」「わからない」以外の回答がなされるのはおかしいと思いませんか？

思わないのであれば、今後一切回答を書き込まないで下さい。

書き込みをしたいのであれば、他のスレないし、自分で掲示板を立ち上げ、そこに書き込みをして下さい。
くれぐれもここでの書き込みはご遠慮下さい。

お礼日時：2016/02/12 19:30

No.9 回答者： fuefuki-douji 回答日時： 2016/02/10 01:13

皆さんは、この御仁を見捨てないで、納得するまで教えてあげて下さい。

小生は、大雪警報が出ているので、ニッカウヰスキーのブラックなどをロックで飲んで寝ます。
それにしても、まともにお相手する人は消耗しますなぁ・・・。

No.8 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/10 00:33

「補足」に書かれたことについて。

＞V=Vm/√2×∠θ　の最大値はいくらですか？またその時のθはいくらですか？

全く分かっていなのですね。
「V=Vm/√2×∠θ」
とは、
　　V = Vm * sin(ωt + θ)
と等価だと言っているのです。

（普通は
　　V = Vm/√2 * cos(θ) + j*Vm/√2 * sin(θ)
と書きますが）

　この対応関係を理解すれば、「最大値」は分かるでしょう？
　また、「その時のθはいくらですか」という問題ではなく、基準にしたものからの「位相」だということが分かりますよね？　インピーダンスや、電圧と電流との関係から決まります。

この回答へのお礼

大切な事なので2点教えてください。
①
V=Vm/√2×∠θ　の最大値はありますか？あるならいくらですか？

②
「その時のθはいくらですか」という問題ではなく、基準にしたものからの「位相」だということが分かりますよね？　インピーダンスや、電圧と電流との関係から決まります。
これについてもう少し詳しく優しく教えてください。

お礼日時：2016/02/10 02:56

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/07 14:22

No.6です。

追加で一言。

　ふだんコンセントから取って使っている「交流100V電源」の最大値は、

　　100 × √2 ≒ 141.4 (V)

だということを知っていますか?

　最大値約 141 V の交流電圧のことを、通称、実効値で「100V」（≒ 141/√2 ) と呼んでいるのですよ。
　フェーザ表示や複素数とは何の関係もありません。

　「電気」を勉強しているなら、そのぐらいは理解しましょう。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/07 13:13

フェーザ表示は、「三角関数を、等価な指数の複素数表示にする」ものです。

従って、

＞「正弦波交流電圧の式と、それを元にして得たフェーザ表示の数式とは同じものではない」
＞「フェーザ表示は元となる正弦波交流電圧の式の全てを表してはいない」

は全くの「No!」で、両者は「全くの等価」なものです。
こんな「オイラーの式」を使います。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4 …

こんなサイトもご参考に。「複素数」は、「位相」を持った「ベクトル」計算を簡単にするための数学的な道具として使っています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7 …


＞青枠②③の数式では最大値は Vm/√2 となります。

は、フェーザ表示に関係ない「正弦波の実効値」というだけの話です。
　正弦波の実効値として、なぜ 1/√2 なのかは、初学者が必ず感じる疑問なので、こんなサイトで確認しておくとよいです。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/elec/kouryuu/j …

　要するに、位相の異なった「電圧」と「電流」であっても、「電力」をその積で表わせるようにした、というだけのことです。
　　P = VI
　これと、インピーダンスのフェーザ表示を使えば、直流の「オームの法則」に相当する
　　V = IZ
と併せ、交流も直流と同じように「簡便に」に扱えるようになります。

　そのため、フェーザ表記では、電圧、電流、電力は全て「実効値」で扱うことにしているのです。

No.5 回答者： fuefuki-douji 回答日時： 2016/02/07 09:32

数学的には、必要十分条件がそろっており、相互に変換可能です。

ただ、
電気工学的にはフェーザでは、
・大きさは実効値であらわすこと。
・正弦波の場合の実効値は最大値の1/√２である。
との約束があり、それを守ればＯＫなのです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/07 05:00

>最大値が異なる事からもわかる通り、

>「青枠②③の数式は、元の黒枠①の数式全てを表してはいない」
>と思います。

最大値が異なる？ どう考えたらそうなってしまうのでしょう？
ちょっと理解不能です。

(2)は実効値と位相をフェーザ表示(複素数)の「大きさ」と
偏角に対応させるという「取り決め」を表しています。

(3)は
実効値(Ve)=最大値(Vm)の1/√(2)
の関係を表わしているだけです。

なので、Vが決まれば、Veとθが求まり、Vmとθが求まります。

ωを定数として与えれば、(1)に必要なものは全て得られます。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/01 21:46

参照されている文書がどのような趣旨で書かれているのか分かりませんが、「位相」をどのような意味合いで使っているかによります。

　おそらく
（１）t=0 のとき V=0 となる V = sin(ωt) に対して「電圧の瞬時値が決まる」
（２）「位相」が「電流」との「位相差」の意味で、これが分かれば「電流に対する電圧の瞬時値が決まる」
のどちらかではないかと思います。
　いずれにせよ、基準にするものに対して「位相」分ずれた正弦波なので、「位相」が分かれば正弦波の波形が確定する、という意味でしょう。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/01 11:02

瞬時値とは、時刻tに対して決まる値 という意味です。

時刻を決めずに決まる値ではありません。

「交流電圧の瞬時値を決めることができる」
というのは時刻tに対して、その時の電圧を決めることができる
という意味です。