極値を与える点と峠の点を教えてください！

f(x,y)=x^2+y^2+y^3の極値とそれを与える点、それと峠となる点の求め方を教えてください。
やり方がわからないので教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/01 14:33

f(x,y)=x^2+y^2+y^3

fx=∂f/∂x, fxy=∂^2f/∂x∂yのように書く。

fx=2x
fy=2y+3y^2
fxx=2
fxy=0
fyy=2+6y

停留点は
fx=2x＝0
fy=2y+3y^2＝0
の解であり、
x=0,y=0または-2/3

停留点において
D=fxxfyy-fxy^2>0、fxx>0なら極小となる。
D=fxxfyy-fxy^2>0、fxx<0なら極大となる。
D<0なら峠点となる。

点(0,0)においてはD=4＞0, fxx=2>0 ゆえに極小、極小値＝0
点(0,-2/3)においてはD=-4<0 ゆえに峠点

この回答へのお礼

ありがとうございます。わかりやすくて助かりました

お礼日時：2016/02/04 21:21

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/02/01 14:41

関数 f(x,y) が連続な2階の導関数をもつとする。

また、(x0, y0) を関数 f(x,y) の停留点(fx(x0, y0)=0 かつfy(x0, y0)=0　となる点)とする。
さらに、

H = fxxfyy - 2fxy

=|fxx fxy |
|fyx fyy |
（行列式の意味）


とおく。 このとき点 (x0, y0) について次が成り立つ。

H(x0, y0) > 0 かつ fxx(x0, y0) > 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極小
H(x0, y0) > 0 かつ fxx(x0, y0) < 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極大
H(x0, y0) < 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極値をとらない

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fxは元の関数でyを定数と見做してxで微分。
fxxはfxをxで微分
fyも同様
fxyは元の関数でｘyで微分。この項がないので=0

fx(x0, y0)=0 かつfy(x0, y0)=0は
fx=0、fx=0を連立で解けば、(x0,y0)が複数求まる。
これが極値や峠の候補。
あとは上の判定式で判定。

Ｈはfxx,fyy,fxyに(x0,y0)を代入。
後も代入計算。

H(x0, y0) < 0 ならば(x0,y0)が峠。