数学Ⅲの問題

ド・モアブルの定理に関する問題です 解説もお願いします 下記が問題です
1. 次の式を簡単にせよ
　(1) (cos60°+isin60°)^4　　　　　(2) (√3- i)^5　　　(3) (3/2+√3i/2)^5

2.方程式 z^4 -1=0を解き、その解を図示せよ

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/01 21:15

1.

(1) (cos60°+isin60°)^4＝cos(4×60°)+isin(4×60°)=cos(240°)+isin(240°)
=-cos60°-isin60°=-1/2-i√3/2

(2) (√3- i)^5＝(2^5)(√3/2- i/2)^5=2^5(cos30°-isin30°)^5=2^5(cos150°-isin150°)
=2^5(-√3/2-i/2)=-16√3-16i


(3) (3/2+√3i/2)^5=(√3)^5(√3/2+i/2)^5=(√3)^5(cos30°+isin30°)^5
=(√3)^5(cos150°+isin150°)=(√3)^5(-√3/2+i/2)=-27/2+i9√3/2


2.方程式 z^4 -1=0を解き、その解を図示せよ
z^4=1 これより|z|=1なのでz=e^(iθ)とおくと1=e^(i2πn) (n:整数）
e^(i4θ)＝e^(i2πn)
4θ＝2nπ
θ＝nπ/2(n=0,1,2,3)

複素平面上の(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)が解の複素数である。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/02/03 20:07

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/01 21:36

2の展開だけ

z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)=(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)=0

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2016/02/01 21:01

(1) (cos60°+isin60°)^4=cos(４π／３）＋isin（４π／３）

　　　　　　　　　　　　＝－cos（π／３）－isin（π／３）
　　　　　　　　　　　　＝－√３／２－１／２i
(2) (√3- i)^5　＝２(√３/２-i1/２）＾５
　　　　　　　＝２＾５（（cos（１１π/６）+isin(１１π/６））＾５
　　　　　　　＝32（cos(55π/６）＋isin(55π/６）
　　　　　　　＝32（（cos(7π/６）＋isin(7π/６）
　　　　　　　＝32（-√３/２-1/2i）
2.方程式 z^4 -1=0を解き、その解を図示せよ　　　　　　　
　（ｚ＾２－１）（ｚ＾２＋１）＝（ｚ－１）（ｚ＋１）（ｚ＾２＋１）
ｚ＝１、－１、i、-i