図形の問題 円と等脚台形を教えてください

半径5センチの円に四角形が内接しています。
四角形の頂点を左上から反時計回りにABCD、円の中心を０をします。
AD平行BC AD=6cm
角CAD=45度の時
影をつけた面積を求めます。
等積変形するのに角AOB と角DOCが直角と言いたいのですが
どのようにしたら良いでしょうか？
画像が逆ですみません。

質問者からの補足コメント

• 画像が分かりにくくてすみません。
  四角形はおそらく等脚台形で上底と下底が平行です。
  上底の短い方が6センチです。

    補足日時：2016/02/21 15:15

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/21 17:27

AD、BCの中点をそれぞれM,Nとする。

台形ABCDはMNに関して線対称である。（等脚台形）
∠COD=2∠CAD＝９０°（中心角は円周角の２倍だから）
AD//BCより∠BCA=∠CAD＝45°、∠BOA=2∠BCA=90°
⊿AOMはAO=5、AM=3の直角三角形であるのでMO=4
⊿AOM≡⊿DOM、∠AOM=∠DOM=αとする。
∠AOM+∠AOB+∠BON=180°であるから
∠BON＝180°-(∠AOM+∠AOB)=180°-(90°+α)=90°-α
∠OBN=∠OCN=90°-(90°-α)＝α
求める面積SのADの上側をS1、BCの下側をS2とすると
⊿AOM=⊿DOM＝⊿BON＝⊿CON=3×4/2＝6cm^2なので

S＝S1+S2

S1=2[πr^2×(α/360)-6] (r=円Oの半径＝5cm)

S2=2[πr^2×((90-α)/360)-6]

S=2πr^2×(α/360)+2πr^2×((90-α)/360)-24=2πr^2×(90/360))-24
=πr^2/2-24=25π/2-24

この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。
円周角と中心角の関係で90度が求められるのですね。
すっりしました。

お礼日時：2016/02/22 10:31

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/02/21 18:09

△ＡＣＤはこの円に内接するから、正弦定理より

２×５=CD/sin45°
CD=10sin45°=10×(√2/2)=５√2 (cm)

△ＡＣＤで、余弦定理より
(５√2)^2=AC^2+6^2-2･AC･6･cos45°
50=AC^2+36-2･AC･6･(√2/2)
AC^2-6√2AC-14=0
(AC-7√2)(AC+√2)=0
AC>0 より
AC=7√2 (cm)

AD // BC より
∠BCA=∠CAD=45°

△ＡＢＣはこの円に内接するから、正弦定理より
２×５=AB/sin45°
AB=10sin45°=10×(√2/2)=５√2 (cm)

また、余弦定理より
(５√2)^2=BC^2+(7√2)^2-2･BC･7√2･cos45°
50=BC^2+98-2･BC･7√2･(1/√2)
BC^2-14BC+48=0
(BC-6)(BC-8)=0
BC=6, 8

ここで、
弧CDに対する円周角だから
∠CBD=∠CAD=45°
四角形ABCDの対角線の交点をEとすると、
△EBCで、
∠EBC=180°-∠CBD-∠BCA=180°-45°-45°＝90°
よって、四角形ABCDの２つの対角線は直交する。

BC=6 とすると、四角形ABCDは長方形になり、
２つの対角線が直交することに反する。
よって、
BC=8 (cm)　

円の中心をOとすると、
△ABO と △COD において
∠AOB=∠COD=90°

したがって、影の部分の面積は
π×5^2-(1/2)･6･7√2･(1/√2)-(1/2)･8･7√2･(1/√2)-{π×5^2×(1/4)-(1/2)･5･5}×2
=25π-(1/2)･6･7√2･(1/√2)-(1/2)･8･7√2･(1/√2)-{(25/4)π-(25/2)}×2
=25π-21-28-(25/2)π+25
=(25/2)π-24

求める影の部分の面積は、
円の面積から
台形ＡＢＣＤの面積（△ＡＢＣの面積と三角形ＣＡＤの面積の和）と
辺ＡＢの左側の部分の面積（扇形ＯＡＢの面積－△ＯＡＢの面積）と
辺ＣＤの右側の部分の面積（扇形ＯＣＤの面積－△ＯＣＤの面積）を
引けば求まりますが、もっと、すっきりする解き方があるのでは？

この回答へのお礼

ありがとうございました。
円周角と中心角の基本を見逃しておりました。
ここから右下4分の1円の扇形を円の中心0を回転の中心として90度
右上に回し、左下4分の1円の扇形は左上に回すと
半円－長方形になることがわかりました。
どちらの方も早々に明快な解答をいただきました。
早くいただいた方をベストアンサーとさせていただきました。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/02/22 10:40