三角関数の問題なんですが。aを定数とし、方程式sin2θsinθ−4sin^2 θ/2 cosθ

三角関数の問題なんですが。
aを定数とし、方程式sin2θsinθ−4sin^2 θ/2 cosθ−a＝0 の実数解の個数を求める問題がわかりません。θは0以上π以下です。
教えてください！！

質問者からの補足コメント

• 解く過程も教えてほしいです！！

    補足日時：2016/03/11 00:55

No.3 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/03/14 16:17

解く過程は自分でやらなきゃ身に着きません。

これは、微分の基礎問題です。
sin2θsinθ−4sin^2 θ/2 cosθのグラフを書くことが主テーマです。
最大、最小、極値、増加、減少。
微分の項で既に学びましたね！

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/03/11 11:45

式の区切り目が不明ですが（「1/2」がθにかかるのか、項全体にかかるのか、など）、一応下記として回答します。

　　sin(2θ) * sin(θ) - 4 * sin^2(θ/2) * cos(θ) - a = 0　　（１）

まずは、「2θ」や「θ/2」を「θ」に統一しておきましょう。そうしないと先に進めないので。

　　sin(2θ) = 2 * sin(θ) * cos(θ)
　　sin^2(θ/2) = (1/2) * [ cos(θ/2 - θ/2) - cos(θ/2 + θ/2) = (1/2) * [ 1 - cos(θ) ]

これを（１）に代入して

　　2 * sin(θ) * cos(θ) * sin(θ) - 4 * (1/2) * [ 1 - cos(θ) ] * cos(θ) - a = 0

整理して
　
　　2 * sin^2(θ) * cos(θ) - 2 * cos(θ) + 2 * cos^2(θ) - a = 0

ここで
　　sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ)
で置換して

　　2 * [ 1 - cos^2(θ) ] * cos(θ) - 2 * cos(θ) + 2 * cos^2(θ) - a = 0
　　-2 * cos^3(θ) + 2 * cos^2(θ) - a = 0　　（２）

ここで
　　cos(θ) = x
とおくと、与えられた条件 0 ≦ θ ≦ pai の範囲では
　　-1 ≦ x ≦ 1
で
　　x^3 - x^2 + a/2 = 0　　（３）
となります。

与えられた問題は、「実数解の個数を求める」ことなので、ここではグラフを使って解きます。
つまり
　　y = x^3 - x^2 + a/2　　（４）
のグラフを描いて、-1 ≦ x ≦ 1 の範囲で、y=0 つまり x 軸との交点の数が（３）の方程式の「実数解の数」になることを利用します。

（４）のグラフは、添付図に示した
　　y = x^3 - x^2　　　（５）
のグラフを、「a/2」だけ上下に移動したものになります。

（５）のグラフは、x=0, x=1 でx軸と交差し、x= 2/3 で極大値 4/27 をとります。
従って、（４）のグラフは、-1 ≦ x ≦ 1 の範囲では
　・a/2 < 0 では x 軸との交点なし　→実数解なし
　・a/2 = 0 では x 軸との交点2点　→実数解2個
　・0 < a/2 < 27/4 では x 軸との交点3点　→実数解3個
　・a/2 = 27/4 では x 軸との交点2点　→実数解2個
　・27/4 < a/2 ≦ 2 では x 軸との交点1点　→実数解1個
　・2 < a/2 では x 軸との交点なし　→実数解なし
ということが分かります。

　従って、
　・a < 0 では実数解なし
　・a = 0 では実数解2個
　・0 < a < 27/2 では実数解3個
　・a = 27/2 では実数解2個
　・27/2 < a ≦ 4 では実数解1個
　・4 < a では実数解なし
となります。

No.1 回答者： やまもとやまやま 回答日時： 2016/03/11 00:36

答えは6億です