行列について

大学に入ってから初めて行列をやっているのですが、行列A、行列Bを設定するとAB≠BAとなる事が計算では確認できるのですが、どの様な原理に基づいているのかがよく分かりません‥
ベクトルは高校で履修しているので、ベクトルや幾何学的な例を交えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2016/04/29 23:43

こういう例はどうでしょうか．

ｘｙ平面上の話です．
点Ｐの位置ベクトル
　　┌　┐
ｒ＝│ｘ│
　　│ｙ│
　　└　┘
のｘ座標を２倍にする操作(ｙ座標はもとのまま)は行列
　　┌　　　┐
Ａ＝│２　０│
　　│０　１│
　　└　　　┘
で表されます．
また，Ｐを反時計まわりにπ/2 だけ回転する操作は
　　┌　　　　┐
Ｂ＝│０　－１│
　　│１　０　│
　　└　　　　┘
で表されます．

簡単にＰ点を x=1，y=1 としましょう．
図を描いてやってみればわかるように，
先にπ/2 回転してからｘ座標を２倍するとＰ点は x=-2，y=1 に移ります．
一方，先にｘ座標を２倍してからπ/2回転するとＰ点は x=-1，y=2 に移ります．
操作の順序を変えると結果が変わります．

これを行列とベクトルで書くと，
前者は A(Br)，後者は B(Ar) ですが(順序注意)．
結合法則により前者は (AB)r，後者は (BA)r と書けます．
操作の順序で結果が変わったことが AB≠BA に対応しています．

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/01 13:32

>行列をかけるルールを正しく覚えれば

普通、正方行列の話でしょうね。

No.3 回答者： think2nd 回答日時： 2016/04/30 15:17

"一般に"AB≠BAとなる事が計算では確認できるのですが、どの様な原理に基づいているのかって、⇒原理に基づいていません。

"一般にAB≠BAとなる事"は宿命です。定理です。

　行列をかけるルールを正しく覚えれば、すぐ納得します。
　例えば　A=(a　b),　B=(c　d)^t　としましょう。　(記号^tは転置行列です。　Bは2×1行列です。)
　　AB=(ac+bd)　ですが
　
　　BA=(ac　cd)
　　　　(ad　BD)　　と、2次の正方行列になりAB≠BAとなる事は明らかです。

　こんな　躓きから、　(AB)^t=(B^t)(A^t)
　　　となる行列の掛け算の性質を見つければ、数学は覚えて、理解するものだということもわかるかも。(転んでもただでは起きない精神?)

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/04/30 14:08

取りあえず計算で確認出来れば充分とは思いますが、

行列=線型写像
を習えばよりはっきり分かります。

線型写像は適用順によって変わるからです。

まずそこまで学習をすすめては如何でしょう?