セカントの微分について

sech(x^2)の微分の仕方が分かりません。
答は－2xsinh(x^2)/cosh^2(x^2)でした。
なぜこのような解答になるのか、特に－2Xが出てくる過程は何か、
詳しいかた教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/08 08:48

'が微分を表すとすると

(cosh(x))' = sinh(x)
(sech(x))' = (1/cosh(x))'=-sinh(x)/cosh^2(x)

ここまでは基本なので良いですよね。

xの関数u(x)にたいして 合成関数 f(u) の微分は

(f(u))' = (df/du)(du/dx)

なので u=x^2、f(u)=sech(u) とすると

(sech(x^2))'= -sinh(u)/cosh^2(u)・2x =
-2x sinh(x^2)/cosh^2(x^2)

なので sechの微分さえ覚えていれば暗算で求まります。

2xは du/dx です。

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2016/05/08 00:53

ANo.1です。

記述誤りがあり訂正・・!

dsech(x^2)/dx
= d{2/(exp(x^2)+exp(x^(-2)))}/dx
= 2・(d/dx){exp(x^2)+exp(x^(-2))}^(-1)
= -2・{exp(x^2)+exp(x^(-2))}^(-2)・(exp(x^2)・(2x)+exp(x^(-2))・(-2x))
= 2・(-2x)・{exp(x^2)+exp(x^(-2))}^(-2)・(exp(x^2)-exp(x^(-2)))
= (-2x)・(exp(x^2)-exp(x^(-2)))/{exp(x^2)+exp(x^(-2))}^(2)/2
= (-2x)・(exp(x^2)-exp(x^(-2)))/{exp(x^2)+exp(x^(-2))}・1/{exp(x^2)+exp(x^(-2))}/2
= (-2x)・tanh(x^2)・sech(x^2)

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2016/05/07 19:38

dsech(x^2)/dx

= d{2/(exp(x^2)+exp(x^(-2)))}/dx
= 2・(d/dx){exp(x^2)+exp(x^(-2))}^(-1)
= 2・{exp(x^2)+exp(x^(-2))}^(-2)・(exp(x^2)・(2x)+exp(x^(-2))・(-2x))
= 2・(-2x)・{exp(x^2)+exp(x^(-2))}^(-2)・(exp(x^2)-exp(x^(-2)))
= (-2x)・(exp(x^2)-exp(x^(-2)))/{exp(x^2)+exp(x^(-2))}^(-2)/2
= (-2x)・(exp(x^2)-exp(x^(-2)))/{exp(x^2)+exp(x^(-2))}・1/(exp(x^2)+exp(x^(-2)))^(-2)/2
= (-2x)・tanh^2(x^2)・sech(x^2)