大学数学の問題

大学数学の群論の問題です。
群Gにおいて次の式を証明せよ
⑴(a*-1)*-1=a （←逆元です）
⑵(ab)*-1=b*-1a*-1
⑶(a1a2a3...an)*-1=an*-1...a2*-1a1*-1

教科書の略解には x=a*-1 ⇔ xa=e （単位元）を使うと書いてあるのですがどうすればいいのでしょうか？どなたか教えてください！！

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/29 03:01

(1) で証明すべきことは, 群 G の元 a の逆元の逆元は a に等しい, です.

よって, a の逆元を x と書くとき, xa と ax が, どちらも G の単位元 e に等しいことを証明すればいい.
つまり, xa = ax = e を証明すればいいが, これは x が a の逆元であることの定義だから, 当然成り立つ.

という具合に, (1) はとても明らかなのですが,
以下の (A), (B) を前もって証明しておかないと, 今後のことも含めて, いろいろ厄介です.
(A) 群 G は単位元を 1 つしか持たない
(B) 群 G の任意の元は, 逆元を 1 つしか持たない

例えば, (A) が証明されていないとします.
この場合に (1) を証明するとき, e と f がどちらも G の単位元だとすると,
a の逆元（の 1 つ）を x とするとき,
xa = ax = e を証明すればいいのか, それとも,
xa = ax = f を証明すればいいのか, あるいは,
その両方を証明する必要があるのか, 混乱してしまいます.

という訳で, 質問者様には, 上の (A) と (B) の証明をお願いします.
(A) に関しては, e と f がともに G の単位元であるとき, e = f であることを示してください.
ヒントは, ef が何に等しいかを考える, です.
(B) に関しては, x と y がともに G の元 a の逆元であるとき, x = y であることを示してください.
ヒントは, (xa)y と x(ay) の関係を調べる, です.

御質問の (2) と (3) は, 以上のことがすべて解決してから扱います.

この回答へのお礼

Ａ:もしfも単位元ならば　e=ef=f　となり、単位元は唯一存在
Ｂ:x,yがともにaの逆元ならば、eを単位元とすると　y=ey=(xa)y=x(ay)=xe=x　よって、x=y
遅れましたがこれでどうでしょうか

お礼日時：2016/06/06 12:15

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/28 23:22

そうですか, 分かりました.

では, 週が明ける前に, 何とか解決する方向に持っていこうと思います.
もうしばらくお待ちください.
ご自分でも, 教科書をよく読んで, (1) は自力で証明できるよう, 考えていてください.

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/25 03:23

ところで, 教科書の略解には, xa = 1 であることは, x が a の逆元であるための必要十分条件だと書かれているわけですが...

x が a の逆元であることの定義は, ax = xa = 1, ですよね.
それなのに, xa = 1 が成り立つだけで, x が a の逆元と断じていることには, 何の疑問も持たなかったのでしょうか.
xa = 1 ならば ax = 1 であることを明らかと感じているなら, 疑問に思わなくて当然ですけど.

分からないことがあるなら, 遠慮なく何でも質問してください.
できるだけ丁寧に答えます.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
自分は正直数学があまり得意ではないので⑴～⑶全部できれば詳しい説明がほしいですね笑
⑴はもちろん明らかに見えますが、それも可能な限り証明いただきたい。
略解のことですが、同じく疑問には持ちましたが、まぁその定義はもちろんあるのだと思い、どうせこの略解作ってるのは大学生のバイトだろうからミスだろうと割り切りました

お礼日時：2016/05/28 19:23

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/24 17:28

(1) は, あまりにも明らか. 明らかと思えないなら, 逆元の定義が理解できていないということ.

(2) も, 基本的に (1) と何も変わらないが, 結合法則をどう使ったかを, 数式できちんと表現すること.
(3) は, (2) を繰返し使って証明するか, あるいは induction でもあっさり終了.