一般相対性理論とＧＰＳについて

今年は、一般相対性理論１００周年と聞いています。重力波も検出されたという記事も出ているようですが。また、ＧＰＳの補正に相対性理論（一般、特殊）も用いられているようです。
　そこで質問ですが、一般相対性理論を用いてＧＰＳによる測位がより正確に行われるようになったとしたらその理論の正しさが検証されたとは言えないのでしょうか。一般相対性理論はその正しさを実験・実測によって検証できない、ということだったのではないかと思いますが。重力波の検出こそ理論の検証だと思っていたので。
　また、ＧＰＳ測位に相対性理論が用いられていると言われていますが、どの程度効くのかということを考えるときに、光速×時間補正、というようなものではなく、実際に出力した測位としての効果はどのような程度でしょうか。以前の地球の測位（ロランとか）に比べて精度が向上したことはわかります。しかし使用目的に対する効果こそが評価なのだから、車の大体の位置（カーナビ程度か自動運転か）、工事のためのクレーンの位置、敷地の不動産評価など使用目的がいろいろ考えられますが。
　それからもう１つの観点ですが、測位に関してその誤差（相対論を使わないときに真値の周りで生じる誤差）が正規分布的なものなのか、それとも明らかな傾向を有する誤差なのかということも見たいと思います。例えば、２点間の距離が真値より長くなるということが明らかな誤差と、長くなったり短くなったりする誤差とではあきらかに性質が違います。相対論を使わないことによる誤差は後者じゃないかと思いますが。
長くなりました。すみません。いかがでしょうか。

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/29 13:22

>衛星の方が固有時間は長くなります。

逆でした。申しわけない。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/29 11:34

>GPS衛星搭載の時計の遅れる仕組みについて回答します。

う~ん、なかなか面白いですが独自理論ですね(^-^;

遅れの方は特殊相対論の範疇で充分説明できるのです。

基本的に双子のパラドクスの回答と同じで
特殊相対論から、衛星と地上の固有時間の経過を計算する
だけです。衛星の方が固有時間は長くなります。
これは衛星の加速度運動の結果です。

No.8 回答者： kothimaro 回答日時： 2016/05/29 06:49

GPS衛星搭載の時計の遅れる仕組みについて回答します。

高速で移動する時計は遅れます。実際に、地球の周りを高速で移動するGPS衛星に搭載されている時計は、高速移動により地上の時計に比べて1秒間に100億分の2.55秒遅れます。

一方、GPS衛星は地表よりも重力の弱い所を回るので、地上の時計に比べて1秒間に100億分の7秒速く進みます。従って、差し引きすると、GPS衛星搭載の時計は地上の時計よりも1秒間に100億分の4.45秒速く進むのです。
ですから、地上ではこの時計が逆に100億分の4.45秒遅く進む様に補正されています。これで、軌道上に乗ると、この時計は地上の時計とシンクロします。以下では、重力の影響を考えず、高速移動による影響のみ考慮することとします。

一部に、「お互いに相手の時計が遅れて見えるだけ」であるとの考えがあります。

Aが高速で移動しており、Bは静止しています。静止しているBから見るとAの持っている時計は遅れて見えます。相対性理論では、静止系は無いと考えます。従って、逆にBが高速で移動しておりAは静止していると考えることも出来ます。ですから、AからBを見てもBの持っている時計は遅れて見えるとideas1954年大先輩はご主張されでいるのでしょう。
確かに、相手の時計が何時を指しているかは、お互いに相手から届く光で映像を見るか、それとも電波でお互いの時間を知らせ合うかしかありません。

今、地点Oに宇宙船AとBが一緒にあります。それぞれに搭載されている時計は0時0分0秒を指しています。そしてお互いに離れて行きます。Aが動いたと考えてもBが動いたと考えても良いのです。宇宙船Aの5秒後の位置から宇宙船Bに光や電波が届くのに5秒掛かるとします。即ち、出発して10秒後にBにその信号が届きます。逆に宇宙船Bの5秒後の位置から宇宙船Aに光や電波が届くのにも5秒掛かります。即ち、出発して10秒後にその信号がAまで届きます。

この様に、Bから見るとAの時計は10秒間に5秒しか進んでいません。逆に、Aから見てもBの時計は10秒間に5秒しか進んでいません。この様に、お互いに相手の時計は遅れて見えます。しかし、実際に時間が遅れた訳ではなく、光や電波が届くのに時間が係るので、相手の時計はゆっくりと時間を刻んでいる様に見えるだけです。実際には、Aの時計もBの時計も同じ速さで時間を刻んでいます。

逆に、宇宙船AとBが近づく場合には、お互いに相手の時計は速く進んでいる様に見えます。ですから、宇宙船Aが高速でBから離れて行き、Uターンして戻りBに再会すると、当然Aの時計とBの時計は同じ時を指しています。これでは、「ウラシマ効果」は起こりません。

以上は単に見た目の問題です。しかし、これとは別に、高速で移動する時計は実際に遅れるのです。GPS衛星搭載の時計は、高速移動により地上の時計よりも常に1秒間に100億分の2.55秒遅れ続けます。GPS衛星は地球の周りを回っているので、GPS衛星から電波が届くのに要する時間は変りません。ですから、このケースは、電波が届くのに要する時間が次第に長く掛かる様になるので、見た目には相手の時計の遅れが生じると言う理論とは無関係です。

それでも、GPS衛星搭載の時計は、地上の時計よりも遅れるのです。以下でその「仕組み」を説明します。
高速で移動する粒子は動き難くなります。これは、加速器の実験でも実証されています。

また、カウフマンは、様々な速度の電子に電磁力を掛けて、上下左右方向へ曲げる実験を行いました。その結果、光速に近い電子程曲げにくく、その曲げにくさは相対性理論の方程式m=m0/√(1－V^2/C^2)のとおりでした。m=V㎞/秒で移動する物質の質量・m0=静止時の物質の質量です。つまり、V㎞/秒で移動する電子は、同じ電磁力を掛けても、√(1－V^2/C^2)倍しか上下左右方向には曲がらなかったのです。

しかし、実際に質量が増加する訳ではありません。動き難くなったので、質量が増加した様に振る舞うと表現するのです。ですから、hottokesucerさんの「質量が1/√(1－V^2/C^2)倍に増えても、速度は√(1－V^2/C^2)倍にならない」との反論は本末転倒です。

先ず、V㎞/秒で移動する粒子は、静止時の√(1－V^2/C^2)倍しか動かなくなるのです。決して、質量が増加したのではありません。動き難くなったので、質量が増加した様に振る舞うと言っているだけです。

何故、動き難くなるのかは、以下の通りです。
V㎞/秒で移動する粒子は、上下左右方向には√(C^2－V^2)㎞/秒までしか動かせません。これで、この粒子の速度はC㎞/秒となるからです(ピタゴラスの定理より)。ですから、√(C^2－V^2)㎞/秒÷C㎞/秒=√(1－V^2/C^2)倍しか動けないことが分かります。

そして、V㎞/秒で移動する時計の部品は、静止時に比べて√(1－V^2/C^2)倍しか動かないので、時計は遅れるのです。
カウフマンは、様々な速度の電子に電磁力を掛けて、進行方向から見て左右上下方向に曲げる実験を行いました。その結果、速度の速い電子程曲げ難いことが分かりました。そして、その曲げにくさは、相対性理論のm=m0/√(1－V^2/C^2)のとおりだったのです。

この仕組みにより、高速で移動するGPS衛星搭載の時計は実際に遅れるのです。単に相手の時計が遅れて見えるだけで、実際には遅れていないとするとどうなるでしょうか。

GPS衛星にABの2個の時計を搭載します。一つは100億分の2.55秒速く進む様に補正した時計Aで、もう一つは全く補正していない時計Bです。GPS衛星が長い間地球の周りを高速で回り、時計Bが地球の時計より1時間遅れて見える様になったとします。一方、時計Aは地球から見ると地球の時計とシンクロして見えます。

GPS衛星から電波が届くのに1秒掛かるとします。時計Aが01時00分00秒との信号を発し、それを地球で01時00分01秒に受け取ります。その時、地上の時計Cも01時00分01秒を指しています。こうして、補正された時計Aと地上の時計Cとはシンクロしています。

一方、時計Bは00時00分00秒との信号を発し、それを地球では01時00分01秒に受け取ります。時計Bは時計Cより1時間遅れて見えます。

逆に、地球の時計CからGPS衛星に、01時00分00秒であるとの信号を発します。GPS衛星は1秒後にその信号を受け取ります。その時、補正された時計Aは01時00分01秒を指しており、時計Cと同調しています。補正されていない時計Bは00時00分01秒を指しています。

GPS衛星から地球を見ても、地球の時計が遅れて見えるとの主張があります。しかし、時計Bから見て時計Cは進んでいます。この点でその主張は誤りです。

そして、GPS衛星搭載の時計ABをスペースシャトル(今はありませんが)で回収し、地上に戻り時計Cと会わせます。すると、どうなるでしょうか。
以下は、相手の時計が遅れて見えるだけで、実際には遅れてはいないのだと前提した時の矛盾です。

スペースシャトルに、時計Dが搭載されています。時計Dは時計Cと同じ時刻を指しています。ですから、地上において電波でやり取りすると、時計Dは時計Aとも同じ時刻を指しています。スペースシャトルがGPS衛星に到着しました。すると、今度は時計Dが時計Bと同じ時刻を指しています。何故なら、時計Bは時計Cと同じ速さで時を刻むからです。地上で電波でやり取りした限りでは、時計Bは時計Dより1時間遅れていました。なのに、GPS衛星に到着すると時計Bと時計Dは同じ時刻を指しています。そして、地球の時計Cから電波を受け取ると、時計Dは時計Cよりも1時間遅れています。一体、何が起こったのでしょうか。これを説明出来るでしょうか。

今度は、時計ABを回収し地球に戻ります。GPS衛星に居たとき電波を交換し合ったところ、時計Aと時計Cは同じ時刻を指し、時計BDは時計Cよりも1時間遅れていました。地上に戻ると、とたんに時計BDと時計Cが同じ時刻を指しており、時計Aは時計Cより1時間進んでいます。一体、何が起こったのでしょうか。これを説明出来るでしょうか。
いえ、実際には、こんな事は起こり得ません。

GPS衛星搭載の時計Bは、高速移動により動き難くなったので実際に1時間遅れたのです。時計Aは1時間速く進む様に補正済みなので、地球の時計Cと同じ時刻を指しているのです。スペースシャトルで時計ABを回収した場合、GPS衛星上では、時計Dと時計Aは同じ時刻を指しています。そして、時計Bは時計Dよりも1時間遅れています。回収して地球に戻った時、時計ACDは同じ時刻を指しており、時計Bは1時間遅れています。

この様に、GPS衛星搭載の時計は、実際に遅れます。そして、GPS衛星の時計から地球の時計を見ると、地球の時計は速く進んでいます。決して、GPS衛星搭載の時計から見ても、地球の時計は遅れて見えるのではありません。地球の時計は進んで見えます。そのことは、電波を使って時計合わせをすれば分かることです。

詳細は、下記のホームページを参照下さい。
http://www.geocities.jp/labyrinth125064/gpseisei …

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/29 02:11

＞相対論には特殊と一般がありますが、このような問題は特殊相対論による

>効果・恩恵かと思っていました。一般相対論の方は別なのかと思っていました。

一応補足しておきますが、ANO6 の ①、②は「両方とも」一般相対性理論から
出てくる結論です。正確には ①と②の和にはならないのですが、和で十分に
近似できます。

一般相対性理論は特殊相対性理論を土台にし、拡張して作られた理論ですので
特殊相対性理論を「含んで」います。この点をお忘れなく。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
”特殊”が”一般”に含まれるというのは自然言語とフィットしますね。
ただし、一般の方は考案者本人も誤謬を起こしたぐらいでまだ揺らいでいるのかなと思ったもので。

お礼日時：2016/06/07 19:12

No.6 回答者： puyo3155 回答日時： 2016/05/28 09:26

そんな難しい話でしょうか。

相対性理論の証拠は、重力レンズ効果にせよ、水星の軌道の説明にせよ、いろいろあるので、調べてみてください。
自分の意見はわかるのですが、１００年にわたって、検証され続けて来た理論を、思いつきで否定しても無意味です。

GPSですが、

①GPSの人工衛星は、地球からみたら動いているので、特殊相対性理論により、地球より時計が遅れる。
②GPSの人工衛星は、地球表面より、重力が弱いので、一般相対性理論により、地球より時計が進む。

①と②の効果を相殺した誤差は、一日あたり３９マイクロ秒、人工衛星の時計は進みます。光速をかけると、それが誤差に相当し１０ｋｍ以上。つまり補正をせずに１日置くだけで、１０ｋｍ距離が狂うGPSになります。放置すれば、どんどん進む一方ですね。これでは使い物になりません。

質問はいいと思いますが、エセ科学に惑わされないために、自分の理論を構築せず、まず、いままでわかったとされる理論を受け入れ、徹底的に咀嚼するのがいいかと。

最近、この物理カテゴリーは特にそうですが、

・　理論のよくわからない。
・　自分なりの仮説を、勝手に立ててしまう。（それは、既に過去解決しているのにかかわらず）
・　回答者がまじめに間違いを指摘。
・　質問者が、自分の仮説を、自分の視点で反論する。

という、無駄なやりとりが多すぎます。わからなければ、オープンクエスチョンで、わからない点を素直に聞く。たくさんの方が、いろいろな視点で回答してくれる。それを読んで理解を深める・・・それが、建設的なやり取りのコツですよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ご回答の①、②こそ私が求めていたことでした。そして②はどの程度確立しているか、ということでした。ネット検索すればそのような回答に至ることはできたかもしれませんが、私の中では「疑問・質問」というものが明らかに成立していました。
私は、puyo3155様のご指摘は、”質問者にもうすでに回答を知っている人になれ、そうしたら問題が消えるから”ということを言われているように思えます。
私は質問というものは明確に質問する側にイニシアティブがあると思っています。質問者には問題がそのように見えている（自分の理性に基づいて）のだ、ということです。しかし一方で回答者は、”もう、その問題は成立していない、人類の営為に基づいて十分考察されて解答が得られている”ということになります。回答者が質問者に”私たちと同じ境地に至れ、そうしたらその質問は消滅する”ということを言いたくなる場合もあると思います。そこには引っかかりを覚えます。紙面がないので十分書き込むことはできませんが、回答者と質問者の一種の闘争（←違和感があるでしょうか？）を初めから無かったことにするというということは問いの封鎖になると私は思っているんですね。よく会議で質問者に回答者が”よい質問ですね”と言うことがあります。和やかな雰囲気を醸成しますが、おかしなことだと思っています。

お礼日時：2016/05/28 11:05

No.5 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/05/28 06:07

GPSを利便に使う人が多いと言うことで良いのではないですか。

そもそもは軍事的に開発されたGPSですので、誤差が問題となるなら、軍事には使用できなかったでしょう。
せっせと相対論漫談をお続け下さい。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/26 11:29

AN01でご紹介の文献、黒月樹人 さんですか(^-^;

このひと、所謂「トンデモ」の人。
アポロは捏造とか、レムリア大陸は・・・ とか
そういう人です。

リンク先の文章も先頭で

「何がおかしいのかというと、一般相対性理論の予測値と、
特殊相対性理論の予測値とが、それぞれ別々の方程式で計算されて、
その結果としての数値を、単純に加算して補正値を求めている
という点である」

と、勝手な思いこみでおもいっきりこけているのでボツ。
自分で間違って自分でそれを批判する という
トンデモの典型パターンです。

確か、間違いに気づいて撤回してたはずなんですが
まだ残っているのですね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/26 10:35

>一般相対性理論はその正しさを実験・実測によって検証できない、

>ということだったのではないかと思いますが

これ出典は?
実測による実証の試みはエディントンの日食観測、水星の近日点移動
など、長年の歴史があると思います。

決定的だったのが、後のメスバウアー効果による実験でした。
また、現在ではわずか数mの高低差による時間の流れの差を
直接観測することが可能になっています。
世界標準時の管理も、世界各地に置かれた原始時計の標高を
考慮しないと出来ません。

GPSの精度ですが、相対論的な補正をしないと全く使い物に
ならないことはご存じですよね。1秒に12cmほどズレてゆきます。
特定の方向へどんどんズレてゆきます。

因みにGPS搭載の原子時計は、1日1回
地上の原子時計と同期していますので、相対論的補正をしないと
メチャクチャになります。

補正後の誤差は測位方式により大きく異なります。
民生用のリアルタイムに測位可能な普通のGPSでは10m程度。

測定に30分以上かかるスタティック測位では 1cm程度までいけます。

この回答へのお礼

有難うございます。相対論には特殊と一般がありますが、このような問題は特殊相対論による効果・恩恵かと思っていました。一般相対論の方は別なのかと思っていました。

お礼日時：2016/05/28 03:45

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/05/26 09:00

詳しく知らないので、一部分についての考察のみですが、、、

GPS衛星間の時計の同期というはなしであるように理解しましたが、衛星の高度と（おおよその位置と）、誤差距離（＝光速×誤差時間）が三角法における距離のずれが位置特定にどの程度の影響を与えるかを考えれば簡単に計算できると思います。　

地球上の測定器が受信する信号が正確に処理されるように、衛星側の内蔵時計は毎秒100億分の4.45秒だけ遅く進むように補正が行われている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%82%E9%96%93 …
このような記載がありましたが、これが正しいとすると、数値的な精度は３桁ですので、他の方法で衛星間および地上における原子時計などと日常的な同期も行われていると推測します。　位置計測における実際の誤差というものは（大気の状態なども常時補正をしていると思われますが）一番の誤差は受信側の機器の精度というところにあるのではないかと思います。　

相対性論理の検証については、こちらにいろいろ書いてありました。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

＞もう一つの観点
条件を絞らないと、どのような結果を生むのかは予想できません。
衛星上の時計に補正を行わないという話でしたら、時間がたつにつれ誤差は増え続ける（だんだん地中に潜っていく）ということになりますよね。

No.1 回答者： mapascal 回答日時： 2016/05/26 08:23

御参考まで。

http://www.treeman9621.com/GPS_CLOCK_corrected_b …