標準正規

A、B、Cを互いに確率的に独立な標準正規分布に従う確率分布とする。このとき(1)a、b、c、dを実定数としてa・A+b・B+c・C+d (2)A^2+B^2+B^2(3)C/(A^2＋B^2/2)^1/2のそれぞれの従う確率分布を答えなさい。
以上が問題なのですが標準正規に従うので(0,1)になるのでは？と思ってしまうのですが違うのでしょうか？
教えていただける方がおられましたらよろしくお願いいたします。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/06/18 09:52

企業でSQCを推進する者です。

「○○分布の2乗は××分布になる」というような
もろもろの関係はご存じであるという前提で説明します。
また、#1さんのご指摘はごもっともで、
私も#1さんの指摘に従っています。

(1)a*A + b*B + c*C + d
各項は、それぞれN(0,a^2)，N(0,b^2)，N(0,c^2)に従っている。
最後の項は定数でバイアスとなる。
分散には加法性があるので、
N(d,a^2 + b^2 + c^2)

(2)A^2 + B^2 + C^2
各項は、それぞれ標準正規分布の2乗なのでχ^2(φ＝1)に従っている。
χ^2分布は再生性があるので、分布の自由度は合算したものになる。
χ^2(φ＝3)

(3)C/(A^2 + B^2/2)^1/2
「÷2」が「A^2 + B^2 」に掛っているなら、
χ^2(φ＝2)を自由度2で割ることになるから、
括弧内はF分布となり、F(φ1＝1,φ2＝∞)
この平方根は正規分布だから、分母はN(0,1)
分子も標準正規分布N(0,1)だから
平均値が0のときの正規分布の比。
コーシー分布。

もし、「÷2」が｢ B^2 」だけに掛っているなら、
私は計算できませんと言うか、
問題として美しくないから、
問題文の写し間違いではないか。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/17 09:30

「A、B、Cを互いに確率的に独立な標準正規分布に従う確率分布とする」という文章は正しいですか？　

「A、B、Cを互いに確率的に独立な標準正規分布に従う集合とする」とか「A、B、Cを互いに確率的に独立な標準正規分布に従うデータ群とする」ではありませんか？　

そして、「a･A」とか「A^2」の意味は何ですか？

例えば A を構成するデータ a1, a2, ･･･, an つまり
　平均値 abar = Σ[k=1~n](ak) /n = 0
　分散　(σa)² = Σ[k=1~n](ak - abar)² /n = 1
に対して、
　　「a･A」とは、各データに対して、a*a1, a*a2, ･･･, a*an とするとこと
　　「A^2」とは、各データに対して、a1^2, a2^2, ･･･, an^2 とするとこと
ではありませんか？
　そうだとすれば、たとえば
　　「a･A」で平均値は a*abar 、標準偏差は a*σa になる
ということになります。

＞標準正規に従うので(0,1)になるのでは？と思ってしまうのですが違うのでしょうか？

　各 A, B, C については各々その通りですが、それを（１）（２）（３）は何らかの（上に書いたように定義不明ですが）演算しているので、何か違ったものになるのでしょうね。
　「a･A」で平均値は a*abar 、標準偏差は a*σa になる、というように。

＞ (2)A^2+B^2+B^2

多分「A^2+B^2+C^2」ですね？