円柱による重力ポテンシャル

以下の問題について知恵を貸してください。

半径r，高さh,密度ρの円柱が図のように平面に置かれています。
2次元極座標を用いた積分を用い，平面を基準とするこの円柱の重力ポテンシャルを求めよ。
というものです。

私が考えたところでは、円柱の微小部分と平面上の質点（質量m）との距離をLとすると、
ポテンシャルは-Gmρ∫(r/L)drdθdzになると思っています。

しかし、Lの求め方やそもそもこのポテンシャルの式が正しいのか何時間考えても分かりません。
数学や物理学に造詣の深い方をはじめとして、皆様のご協力を頂戴したいと思います。

No.6 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/06/27 11:37

？？？重心の位置を考えれば良い。

重心位置の平面からの高さ＝半径
質量は　ρπｒ^2*h
結論　ρπｒ^3gh

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/26 10:44

＞#4さん

多分そういうことだと思います。
ですから、
　面で積分　→　「断面の円の面積 × 面密度」（＝面の質量） × 「平面と断面円の中心との距離」
　長さで積分　→　「円柱の面積 × 密度」（＝円柱の質量） × 「平面と円柱の中心線との距離」
となると思います。

結局、円柱の質量全体が、「円柱の重心」にあるのと同等の結果が得られると思います。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/26 07:39

ひょっとして「円柱による」ではなく、重力場中の

「円柱の」重カポテンシャルかな?

もしそうで、平面と重カ場が垂直なら

(平面と円柱の重心の距離)x(重力加速度)

いずれにしても、質問が曖昧模糊過ぎますね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/25 20:23

>平面を基準とするこの円柱の重力ポテンシャルを求めよ。

平面を基準には出来ないので、計算出来ません。
問題の写し間違いでは？

質問中に示されているポテンシャルは
無限遠が基準ぽいですけど・・・

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/25 13:35

お示しの

＞ポテンシャルは-Gmρ∫(r/L)drdθdzになると思っています。

は、どうみても r, θ, z の「3次元極座標」ですね。

　そもそも、ここで求めたいには、「重力ポテンシャル」であって、少なくとも離れた位置にある「質量 m の物体との間の万有引力のポテンシャル」ではありませんよね？

　「重力ポテンシャル」は「重力」×「基準位置からの距離」です。つまり「重力による位置エネルギー」。
　基準位置は、どこにとってもよいですが、簡単に「円筒の横たわる平面」とすればよいかと。
　全体の座標としては、円筒の中心線を z 軸に、z 軸からの距離を r 、ｚ軸周りの基準位置からの角度を θ とした「3次元極座標」をとるのが一番簡単そうです。

　この極座標では、円筒の密度を ρ として、微小体積の質量は「ρ*dr*dθ*dz」ですから、これに重力加速度 g をかけたものが「重力」、床面からの距離（高さ）は「R - r*cos(θ)」です(円筒の半径を変数と区別するため R としました）。
　従って、微小体積の重力ポテンシャルは、

　ΔΦ = ρ*g*dr*rdθ*dz * [ R - r*cos(θ) ]

です。

　円筒全体では、これを
　　r について　0 ～ R　(R：円筒の半径）
　　θ について　0 ～ 2パイ
　　z について　0 ～ h　(h：円筒の長さ）
について積分すればよろしいと思います。

　これを「２次元極座標」でやるなら、「円筒の微小体積の重力ポテンシャルは、この置き方だと長さ方向の位置に依存しない」ということを利用して、「円筒の長さ方向の一点」をとおる円筒中心軸に直交する平面を考え、その平面上の「断面円の中心を基準とした２次元極座標」で考えるのでしょうね。密度を「面密度」として。
　つまり
　　Δφ = ρ*g*dr*rdθ* [ R - r*cos(θ) ]

　これで求めた「面」のポテンシャルを、円筒の長さについて積分して（つまり「 長さ h をかける」ということです）、円筒のポテンシャルを求めるのでしょう。

　単に、３次元の積分を、「まず平面(r, θ)で積分して、次に長さ(z)で積分する」という順序でやると考えればよいと思います。

　計算はご自分でやってみてください。

この回答へのお礼

確かに！言われてみれば万有引力ポテンシャルじゃなくて、重力ポテンシャルですね！大切な気づきを与えてくださって誠にありがとうございます！！いざ計算してみます！！！

お礼日時：2016/06/25 23:59

No.1 回答者： doc_somday 回答日時： 2016/06/25 10:01

大昔の受験生から見るとこれは通常三次元極座標で解く、つまり二次元極座標で解くにはアイデアが必要。

半日考えてダメならパスしなさい。