角運動量の誤解？

Question

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F
L = r x p = mr x v
L: 角運動量ベクトル
p: 運動量ベクトル
r:回転半径ベクトル
m: 質量
v：速度ベクトル
omega: 角速度

もし、直線に一定速度で運動する質点があり、ほんの少しずつカーブするとすると、表のように時間tが進むにつれて角運動量が減っているようにも思えるのですが、、私は何か誤解していないでしょうか・・・？

慣性モーメントで表現しても
L=I*omega = (Ic + m * r^2) * omega　（質点なのでIc = 0)
なので、下記の表は順当に読める気もするのですが...そのロジックだと直線に走っているときはrが無限大となり、角運動量が無限大になってしまう・・・わけないので、私が誤解していると思い始めた次第です。角運動量の物理的意味は何なのでしょうか・・・？

ご教授のほどよろしくお願い致します。

tknakamuri · Accepted Answer

ANO1です。図を描いてみました。

取りあえず等速直線運動だけに話を絞ると

原点に対する質点の角運動量は　
L = m(r × v) で、r, v, L は全てベクトル。 × は外積です。

r, v, Lの絶対値を |r|, |v|, |L| で表すことにすると、

|L| = m|r||v|sinθ (θ: r と v がなす角度)

＃外積がお分かりなら、簡単にわかると思います。
#角運動量は r と v で作る平行四辺形の面積に比例します。

|r|sinθ = h(直線と原点の最短距離)　なので
|v|は一定だとすると

|L|=m|r||v|sinθ=mh|v|=一定

ということになります。

|v|sinθ/|r| = ω ですから、これを代入すると

|L|=m|r|^2・ω = Iω

と公式通りになりますが、これが一定になるわけですから
|r| と ω は |L| が一定になるように変化することになります。

つまり 等速直線運動では
|r|^2・ω=一定　となるはずであり、
質問中の Excel のように |r|・ω=一定　にはなりません。

tknakamuri · Answer

もし進行方向に垂直に一定のカを加えたとすると、
等速円運動になります。

この円運動の中心は一般に原点と一致しませんので
角運動量は周期的に変わる形になりますね。

円を一週すると、物に加わるカのモーメントの
積分値は0になるので、角運動量は変わらないです。

hitokotonusi · Answer

横から力がかかるとしても、中心を巻き込むように力をかけるのか、
外側にそれていくようにかけるのかで結果が逆になる。
前者なら角運動量は増加するし、後者なら動径方向の直線運動に近づくにつれて減少する。

hitokotonusi · Answer

＞直線に一定速度で運動する質点があり、ほんの少しずつカーブする

もうこれからして意味不明。直線運動してるなら曲がれない。

よくわからないので勝手に直線運動している物体の角速度・角運動量を計算してみる。

原点からLはなれた直線を考え直線に平行にy軸、直行するようにx軸を取る。
x軸と物体の位置ベクトルの間の角をシータとすると

物体の座標は(x,y) = (L, Ltanθ)、速度は(vx,vy)=(0,v)

角運動量は

L = x py - y px = m(Lv - Ltanθ・0) = mLv

で物体の位置によらず角運動量は一定。
角運動量の大きさは直線上にある長さmvの底辺と原点Oでできる三角形の面積の２倍(平行四辺形の面積)だから、
底辺が直線上のどこにあろうと底辺の長さが同じで三角形の高さも変わらないから面積も同じで、角運動量は保存される。

角速度は

y' = v = (L/cos^2θ)θ'

より

ω=θ' = v cos^2 θ /L

動径の長さrは

r = √( L^2 + (Ltanθ)^2) = L √(1+tan^2θ) = L / cosθ

rnakamra · Answer

二つの点で突っ込み。

>ほんの少しずつカーブするとすると
カーブさせるには力を加える必要があります。この力によるモーメントがあるため角運動量は保存しません。

もし、直線運動をつづけた場合、rは非常に大きくなりますが、rとpのなす角が0に近づきr×pは一定に保たれます。

慣性モーメントでの表現の場合、直線運動のときωはrに反比例しません。rの2乗に反比例します。図で書けば簡単に示せるのですが、ちょっとその手段がないため、ここでは数式で示します。

rとvがなす角をθとすると
r*cosθ=c  (一定)
となります。この両辺をtで微分すると
r'*cosθ+r*(-sinθ)*ω=0
ω=(1/tanθ)*(r'/r)  (1)
となります。
ここで r^2=(vt+d)^2+c^2とも表せますので、この両辺をtで微分すると
2r*r'=2(vt+d)*v
r'=(vt+d)*d/r  (2)

(2)を(1)に代入し、tanθ=(vt+d)/cであることから
ω=c/(vt+d)*(vt+d)*d/r^2=cd/r^2
となりω∝1/r^2が示されます。

yhr2 · Answer

通常の物体の運動方程式が、
　　F = ma = m*dv/dt = d(mv)/dt = dp/dt
（p:運動量）
であるように、回転運動の運動方程式は
　　N = r*F = r*m*dv/dt = r*m*d(r*dθ/dt) = m*r^2*(d^2θ/dt^2) = I*(d^2θ/dt^2) = dL/dt
（I ：慣性モーメント、I = m*r^2 、L :角運動量）
　ただし、ここでは「剛体の回転運動」を扱っているので、dr/dt = 0 という前提です。

従って、外力が働かないときには、
・通常運動：F=0 より p=const
・回転運動：N=0 より L =const
となります。これが「運動量保存」「角運動量保存」です。

「角運動量」の物理的な意味は、上記のように、「回転運動において、外力が加わると、それに比例して角運動量が変化する」という、運動方程式における「力と運動の関係を記述するもの」かと思います。

お示しの「表」は、「剛体の回転運動」ではなく、質点の回転運動です。周速度（v）一定のまま、半径（r）が小さくなっているので、質点には何らかの外力が働いているということです。従って、当然のことながら「角運動量」は変化します。
　それが、「表」の「L」の値のように変化した、「加えた力（不明ですが）に従ってそうなった」というだけのことであり、何も不思議なことはありません。
　逆にいえば、角運動量の変化から、加えた力の時間変化を算定することができると思います。〈径方向内側の力と、周速度を減速させる方向の力の合力でしょう)

また、

＞そのロジックだと直線に走っているときはrが無限大となり、角運動量が無限大になってしまう・・・

については、直線運動を「回転運動」とみなした場合、有限距離の「中心点」を仮定すれば、中心点と質点との距離は「遠方から近づくにつれ徐々に小さくなり、最短点を通過した後は徐々に大きくなる」という時間変化をします。
　つまり、直線運動の速度 v に対して、
　　v = r * ω = r * dθ/dt
としたたときに
　　dv/dt = dr/dt * dθ/dt + r*d^2θ/dt^2
となって dr/dt ≠ 0 が消えません。運動方程式は
　　N = r * F = r*m*dv/dt = m*r*[ dr/dt * dθ/dt + r*d^2θ/dt^2 ]
　　　= m*r*dr/dt * dθ/dt + I*(d^2θ/dt^2)
　　　= m*r*dr/dt * dθ/dt + dL/dt
となって、角運動量以外の項が残ります。おそらく、dL/dt と dr/dt * dθ/dt の関係から、角運動量 L は、最短点で最大値となるものの、ほとんど L ≒ 0 、無限遠で L=0 になるのだと思います。
　r が無限大なら、角速度ωも「ゼロ」ですし。

tknakamuri · Answer

>L = r x p = m(r x v)

rは質点の位置ベクトルで × はベクトル積(外積)です。

等速直線運動なら r x v は一定になります。

角運動量の誤解？

ANO1です。

もし進行方向に垂直に一定のカを加えたとすると、

横から力がかかるとしても、中心を巻き込むように力をかけるのか、

＞直線に一定速度で運動する質点があり、ほんの少しずつカーブする

二つの点で突っ込み。

通常の物体の運動方程式が、

>L = r x p = m(r x v)

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